x2 y2 z2 1,求xyz存在的最大值

2022-07-01 09:25:16 字數 2676 閱讀 8508

1樓:濯令楓董蘆

∵x+y+z=1①,x2+y2+z2=3②∴①2-②可得:xy+yz+xz=-1

∴xy+z(x+y)=-1

∵x+y+z=1,

∴x+y=1-z

∴xy=-1-z(x+y)=-1-z(1-z)=z2-z-1∵x2+y2=3-z2≥2xy=2(z2-z-1)?3z2-2z-5≤0?-1≤z≤53

令f(z)=xyz=z3-z2-z,則f′(z)=3z2-2z-1=(z-1)(3z+1)

令f′(z)>0,可得z>1或z<?13

,∴f(z)在區間[-1,-13

]單調遞增,在[-13

,1]單調遞減,在[1,53

]單調遞增,

當z=-13

時,xyz的值為527

,當z=53

時,xyz的值為527

,∴xyz的最大值為527

.故答案為:527.

2樓:象夏菡赤白

x^2+y^2+z^2>=3(∣xyz∣)^(2/3)將x^2+y^2+z^2=1代入

得:3(∣xyz∣)^(2/3)=<1

整理得:∣xyz∣<=(√3/3)^3

當且僅當x=y=z=√3/3時成立,

即:xyz最大值是√3/9

x+y+z=1,x2+y2+z2=3,求xyz最大值,怎麼做

3樓:

平方:x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=1

3+2(xy+yz+zx)=1

xy+yz+zx=-1

可見,x,y,z不全是正數,也不全是負數。

x+y+z=1是一個平面,x²+y²+z²=3是一個球面,球心在原點(0,0,0),半徑r=√3。

平面的法向向量(1,1,1),cosα=cosβ=cosγ=1√(1²+1²+1²)=1/√3.

xoy平面與x+y+z=1平面的夾角=γ,sinγ=√(1-cos²γ)=√(1-1/3)=√(2/3)

兩者的交集是一個圓。圓心在從o垂直於x+y+z=1平面的垂足op,設op=a,則p的座標為(a/√3,a/√3,a/√3),滿足平面方程:

a/√3+a/√3+a/√3=1,3a/√3=1,a=1/√3,p(1/3,1/3,1/3).

該圓的半徑r=√(r²-a²)=√(3-1/3)=√(8/3)=2√(2/3)

將這個圓表示成一個引數方程。

該圓與xoy平面的交線是x+y=1,z=0,與x、y軸夾45°角;過p做該交線的平行線,x+y=1/3+1/3=2/3,z=1/3,是該圓的一條水平直徑。以該直徑與x軸正方向夾角小於90°的一段為正方向,以順時針方向為正(逆該圓的法向看),一條半徑與正向夾角ω。在該圓所在平面內,圓上該半徑向上述正向的投影m=rcosω=√(8/3)cosω,垂直於正向的投影為n=rsinω=√(8/3)sinω,該半徑的端點(圓上的一點),座標z=pz+nsinγ=1/3+√(8/3)sinω(√(2/√3)=1/3+(4/3)sinω

n在水平面內的投影l的長度=rsinωcosγ=√(8/3)sinω/√3=(√8/3)sinω

x=px+mcos45°-lsin45°=1/3+√(8/3)cosω/√2-(√8/3)sinω/√2

=1/3+(2/√3)cosω-(2/3)sinω

y=py-mcos45°-lsin45°=1/3-(2/√3)cosω-(2/3)sinω

設k=xyz=[1/3+(2/√3)cosω-(2/3)sinω][1/3-(2/√3)cosω-(2/3)sinω][1/3+(4/3)sinω]

=[1/3+(4/3)sinω]

=[1/3+(4/3)sinω]

=[1/9-(4/9)sinω+(4/9)sin²ω-(4/3)(1-sin²ω)][1/3+(4/3)sinω]

=[-(4/9)sinω+(16/9)sin²ω-(11/9)][1/3+(4/3)sinω]

=(1/27)(16sin²ω-4sinω-11)(1+4sinω)

=(1/27)(64sin³ω-48sinω-11)

設t=sinω

k=xyz=(1/27)(64t³-48t-11)

k'=(1/27)(192t²-48)

=(16/9)(4t²-1)

k'=0,4t²-1=0,t=±1/2

t=-1/2,有極大值kmax=(1/27)(64/8+48/2-11)=(1/27)(8+24-11)=21/27

=7/9

t=1/2,有極小值kmin=(1/27)(64/8-48/2-11)=(1/27)(8-24-11)=-27/27=-1

非負實數x,y,z滿足x2+y2+z2=1.則f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是___________.

4樓:匿名使用者

由柯西不等式,(f(x,y,z))^2<=((x+y)^2+(1/2-xy)^2)(1+4z^2)=(1/4+x^2y^2+x^2+y^2)(1+4z^2)<=(1/4+((1-z^2)/2)^2+(1-z^2))(1-4z^2)<=2所以是根號2

5樓:匿名使用者

根據均值不等式定理, 僅當x=y=z是上式取最大值, 得x=y=z=1/√3

f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值為:

3/√3-2/(3√3)=√3-2√3/9=7√3/9

求曲線x 2 y 2 z 2 6,x y z 0在點 1, 2,1 處的切線及平面方程

首先對兩個方程兩邊求導,2x 2y dy dx 2z dz dx 0,1 dy dx dz dx 0,代入x 1,y 2,z 1得 dy dx 0,dz dx 1.所以切線的方向向量是 1,dy dx,dz dx 1,0,1 所以切線的方程是x 1 y 2 0 1 z。平面的方程是 x 1 0 z ...

1 z z x,y 是由方程x 2 y 2 z 2 xyz 2確定的二元函式,求x的偏導數

解 zhi令daof x,y,z x,y x 專2 y 2 z 2 xyz 2 則 屬dz dx fx fz 2x yz 2z xy 2 令f x,y,z x,y x siny yz xyz 則dz dx fx fz 1 yz y xy z x 3 y x 2 y 2 那麼對dux 求偏導得到 zh...

求由曲線x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1所圍成的橢球體的體積

本題用重積分可以算復出制,結果是 v 4 3 abc.我們不bai去抄書。直觀地說明一下du 球x y z a 體積v zhi4 3 a 方程dao 改寫為 x a y a z a 1。把球沿y軸向兩側拉壓至b a倍。體積增至b a倍,v 4 3 a b a 4 3 a b.而球也變成了橢球x a ...