已知函式f x 的導函式為其中e為自然對數的底數k為實數且f x 在R上不是單調函式,求k的取值範圍

2021-03-22 04:00:59 字數 5647 閱讀 4359

1樓:匿名使用者

解:顯然,當x充分大時,

必有f'(x)>0。

如果f(x)單調,則f'(x)≥0恆成立。

由於f'(x)=e^x+k^2/e^x-1/k,當k<0時,顯然有f'(x)>0。

當k>0時,

e^x+k^2/e^x≥2*√[e^x*k^2/e^x]=2k,當x=ln(k)時等號成立。

令2k-1/k≥0得:k≥1/√2。

故k≥1/√2或k<0時,f'(x)≥0恆成立,f(x)單調。

若要f(x)非單調,即存在x∈r,使得f'(x)<0,則必有0

c選項正確。

已知函式f(x)的導函式為…其中e為自然對數的底數k為實數且f(x)在r上不是單調函式,求k的取值範圍。

2樓:匿名使用者

由題意得到f(x)=e^x-k^2/e^x-1/k*xf(x)在

r不是單調函式,即有f'(x)=0在r上有解.

即有e^x+k^2/e^x-1/k=0在r上有解即有(e^x)^2-e^x/k+k^2=0在r上有解.

設t=e^x>0,則有t^2-t/k+k^2=0有大於0的解.

判別式=(1/k)^2-4k^2>0

1/k^2-4k^2>0

k^4<1/4

-根號2/20,得到k>0

故有0

3樓:西域牛仔王

^f(x) 不是單調函式,說明 f '(x) 的值有正有負,這就要求 e^x+k^2/e^x 的最小值小於 1/k ,由於 e^x+k^2/e^x>=2|k| (均值不等式),所以 2|k|<1/k ,

顯然 k>0 ,因此 2k<1/k ,2k^2<1 ,k^2<1/2 ,

解得 0

選 c 。

命題「函式y=f(x)的導函式為f(x)′=e的x次方+k²/e的x次方-1/k(其中e為自然對數的底數,k為實數), 5

4樓:夢想之地

如果不是單調函式,則它的導函式有大於零和小於零,,,也就是導函式存在零點。我是這麼認為的。求

5樓:匿名使用者

用均值算出最小值,令最小值小於零

已知函式 的導函式為 (其中 為自然對數的底數, 為實數),且 在 上不是單調函式,則實數 的取值

6樓:猥瑣大叔

已知函式 的導函式為 (其中 為自然對數的底數, 為實數),且 在 上不是單調函式,則實數 的取值範圍是(     )a.

b.c.d.d

試題分析:當 時, , , 在 上恆成立,此時函式 在 上是單調遞增函式,與題設條件矛盾,排除a、b選項,由於 ,故 ,函式 的導函式 ,令 ,解不等式 得 ,解不等式 得 ,故函式 在區間 上單調遞減,在 上單調遞增,故函式 在 處取得極小值,亦即最小值,由於函式 在 上不是單調函式,故函式 存在變號零點, ,由於 ,解得 .

已知函式f(x)=4x的平方-kx-8在[5,20]上具有單調性,求實數k的取值範圍?

7樓:席子草的微笑

實數k的取值範圍是(-∞,40]∪[160,+∞)

解題步驟:

方法一:f(x)=4x²-kx-8

圖象是開口向上的拋物線,對稱軸方程是x=k/8

要使函式在[5,20]上具有單調性,則對稱軸不能落在區間(5,20)內

k/8≤5或k/8≥20

k≤40或k≥160

實數k的取值範圍是(-∞,40]∪[160,+∞)

這是網上的答案,從正面直接解題,可以說是學生普遍使用的「通法」。當然,這個問題解法不一,如果上了高中,學了導數從正面解題就能可以簡單一點。

方法二:∵f(x)=4x²-kx-8在[5,20]上具有單調性 f(x)』=8x-k

∴f(x)』≤0或f(x)』≥0在[5,20]上恆成立

∴k≤40或k≥160

這是運用了導數的解法,幾步解決。主要的是將二次函式問題將為最簡單的一次函式問題。當然,最簡單快捷的是利用導數知識從反面解,如下。

方法三:假設f(x)=4x²-kx-8在[5,20]上沒有單調性,則函式f(x)在[5,20]上有極點

∵f(x)』=8x-k

令f(x)』=8x-k=0 得k=8x

∴40<k<160

∴要使函式在[5,20]上具有單調性,實數k的取值範圍是(-∞,40]∪[160,+∞)

已知函式f(x)=ekx(k是不為零的實數,e為自然對數的底數).(1)若曲線y=f(x)與y=x2有公共點,且在

8樓:韓曉柒

(1)設曲線y=f(x)與y=x2有共同切線的公共點為p(x0,y0),則e

kx=x20

①,又∵y=f(x)與y=x2在點p(x0,y0)處有共同切線,且f′(x)=kekx,(x2)′=2x,∴kekx

=2x     ②,

由①②解得,k=±2

e.(2)由f(x)=ekx得,函式h(x)=(x2-2kx-2)ekx,

∴(h(x))′=[kx2+(2-2k2)x-4k]ekx=k[x

+(2k

?2k)x?4]e

kx=k(x?2k)(x+2k)e

kx.又由區間(k,1

k)知,1

k>k,

解得0<k<1,或k<-1.

①當0<k<1時,

由(h(x))'=k(x?2k)(x+2k)ekx<0,得?2

k<x<2k,

即函式h(x)的單調減區間為(?2

k,2k),

要使h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在區間(k,1k)內單調遞減,

則有0<k<1

k≥?2k1

k≤2k

,解得2

2≤k<1.

②當k<-1時,

由(h(x))'=k(x?2k)(x+2k)ekx<0,得x<2k或x>?2k,

即函式h(x)的單調減區間為(-∞,2k)和(?2k,+∞),

要使h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在區間(k,1k)內單調遞減,

則有k<?11k

≤2k,或

k<?1

k≥?2k,

這兩個不等式組均無解.

綜上,當22

≤k<1時,

函式h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在區間(k,1k)內單調遞減.

已知函式f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數的底數.(1)證明:f(x)是r上的偶函式.(2)若關於x的不等式

9樓:手機使用者

(1)證明:∵f(x)=ex+e-x,

∴f(-x)=e-x+ex=f(x),

∴f(x)是r上的偶函式;

(2)解:若關於x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恆成立,

即m(ex+e-x-1)≤e-x-1,

∵x>0,

∴ex+e-x-1>0,

即m≤e

?x?1ex

+e?x

?1在(0,+∞)上恆成立,

設t=ex,(t>1),則m≤1?t

t?t+1

在(1,+∞)上恆成立,

∵1?t

t?t+1

=-t?1

(t?1)

+(t?1)+1

=-1t?1+1

t?1+1

≥?13

,當且僅當t=2,即x=ln2時等號成立,

∴m≤?13;

(3)令g(x)=ex+e-x-a(-x3+3x),

則g′(x)=ex-e-x+3a(x2-1),

當x>1,g′(x)>0,即函式g(x)在[1,+∞)上單調遞增,

故此時g(x)的最小值g(1)=e+1

e-2a,

由於存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-x0

3+3x0)成立,

故e+1

e-2a<0,

即a>1

2(e+1e),

令h(x)=x-(e-1)lnx-1,

則h′(x)=1-e?1x,

由h′(x)=1-e?1

x=0,解得x=e-1,

①當0<x<e-1時,h′(x)<0,此時函式單調遞減,

②當x>e-1時,h′(x)>0,此時函式單調遞增,

∴h(x)在(0,+∞)上的最小值為h(e-1),

注意到h(1)=h(e)=0,

∴當x∈(1,e-1)?(0,e-1)時,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0,

當x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)時,h(x)<h(e)=0,

∴h(x)<0,對任意的x∈(1,e)成立.

①a∈(1

2(e+1

e),e)?(1,e)時,h(a)<0,即a-1<(e-1)lna,從而ae-1>ea-1,

②當a=e時,ae-1=ea-1,

③當a∈(e,+∞),e)?(e-1,+∞)時,當a>e-1時,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)lna,從而ae-1<ea-1.

已知函式f(x)=ex-kx,x∈r,k為常數,e是自然對數的底數.(ⅰ)當k=e時,證明f(x)≥0恆成立;(ⅱ)

10樓:

(ⅰ)由k=e得f(x)=ex-ex,所以f'(x)=ex-e.由f'(x)>0得x>1,故f(x)的單調遞增區間是(1,+∞)由f'(x)<0得x<1,故f(x)的單調遞減區間是(-∞,1).所以函式有最小值f(1)=e-e=0,所以f(x)≥0恆成立.(ⅱ)由f(|-x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函式.於是f(|x|)>0對任意x∈r成立等價於f(x)>0對任意x≥0成立.

由f'(x)=ex-k=0得x=lnk.

①當k∈(0,1]時,f'(x)=ex-k>1-k≥0.此時f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

故f(x)≥f(0)=1>0,符合題意.

②當k∈(1,+∞)時,lnk>0.

當x變化時f'(x),f(x)的變化情況如下表:

x(0,lnk)

lnk(lnk,+∞)

f'(x)-0

+ f(x)

單調遞減

極小值單調遞增

由此可得,在[0,+∞)上,f(x)≥f(lnk)=k-klnk.依題意,k-klnk>0,又k>1,故1<k<e.綜合①,②得,實數k的取值範圍是(0,e).

已知函式f(x)=e|x|+x2,(e為自然對數的底數),且f(3a-2)>f(a-1),則實數a的取值範圍是(  )a

11樓:夜幕罪惡聫

||)∵f(x)=e|x|+x2,

∴f(-x)=e|-x|+(-x)2=e|x|+x2=f(x)則函式f(x)為偶函式且在[0,+∞)上單調遞增∴f(-x)=f(x)=f(|-x|)

∴f(3a-2)=f(|3a-2|)>f(a-1)=f(|a-1|),

即|3a-2|>|a-1|

兩邊平方得:8a2-10a+3>0

解得a<1

2或a>3

4故選a.

已知函式的導函式為其中為自然對數的底數為

已知函式 的導函式為 其中 為自然對數的底數,為實數 且 在 上不是單調函式,則實數 的取值範圍是 a b c d d 試題分析 當 時,在 上恆成立,此時函式 在 上是單調遞增函式,與題設條件矛盾,排除a b選項,由於 故 函式 的導函式 令 解不等式 得 解不等式 得 故函式 在區間 上單調遞減...

已知函式f xx a e x,其中e為自然對數的底數

f x x a e x f x e x x a e x x a 1 e x第一問 在 3,無窮大 上是增函式 a 1 3 a 2第二問 f x x a 1 e x 減區間 a 1 增區間 a 1,f x x a e x e 在x 0,2 時恆成立如果 a 1 0,即a 1,則在 0,2 單調增,最小...

已知fx為定義在R上的可導函式,且fxfx

令g x f x ex 則g x f x e x?f x exe 2x f x f x ex 0,函式g x 在r上單調遞增,g 2 g 0 g 2012 g 0 f 2 e f 0 e,f 2012 e f 0 e,化為f 2 e2f 0 f 2012 e2012f 0 故選 a 已知f x 為定...