舉個對稱正定矩陣的例子,什麼是對稱正定矩陣

2021-09-12 15:50:37 字數 2153 閱讀 2011

1樓:墨汁諾

最簡單的例子:單位矩陣

e=1 0 0

0 1 0

0 0 1

單位矩陣就是對稱正定矩陣。證明也很簡單,對於任一個非零向量x,都有x'ex=x'x=|x|^2>0,只有當x=0向量時,x'ex才等於0,所以是正定矩陣。

如果想找一個複雜點的,那用任意一個3階可逆矩陣a,讓它與它的轉置矩陣a'相乘,得到的矩陣就是一個3階對稱正定矩陣。

正定矩陣

(1)廣義定義:設m是n階方陣,如果對任何非零向量z,都有ztmz> 0,其中zt 表示z的轉置,就稱m為正定矩陣。

例如:b為n階矩陣,e為單位矩陣,a為正實數。在a充分大時,ae+b為正定矩陣。(b必須為對稱陣)

(2)狹義定義:一個n階的實對稱矩陣m是正定的的條件是當且僅當對於所有的非零實係數向量z,都有ztmz> 0。其中zt表示z的轉置。

2樓:二胡

a=2 1 1

1 2 -1

1 -1 3

a'ans =

2 1 1

1 2 -1

-1 -1 3

a'*a

ans =

6 3 0

3 6 -6

0 -6 11

b =1 0 0

0 1 0

0 0 1

a'*b*a

ans =

6 3 0

3 6 -6

0 -6 11

什麼是對稱正定矩陣

3樓:匿名使用者

令a為 階對稱矩陣,若對任意n 維向量 x 0都有 >0(≥0)則稱a正定(半正定)矩陣;反之,令a為n 階對稱矩陣,若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 <0(≤ 0), 則稱a負定(半負定)矩陣。

4樓:匿名使用者

對任意n維實向量x≠0, 數xax'>0(假設a是n乘n的)

什麼是正定矩陣

5樓:文子

廣義定義:設m是n階方陣,如果對任何非零向量z,都有ztmz> 0,其中zt 表示z的轉置,就稱m為正定矩陣。

例如:b為n階矩陣,e為單位矩陣,a為正實數。在a充分大時,ae+b為正定矩陣。(b必須為對稱陣)

狹義定義:一個n階的實對稱矩陣m是正定的的條件是當且僅當對於所有的非零實係數向量z,都有ztmz> 0。其中zt表示z的轉置。

6樓:電燈劍客

a是n階實矩陣,x是n維實的列向量。如果對任何非零的x,x^t*a*x>0,那麼稱a是正定矩陣,注意這裡x^t*a*x是一個實數(1x1矩陣)。

至於那個偏導,直接按定義求不就行了。

看上去你在看 x^t*a*x/2+b^t*x 的最值問題和方程 ax=b 的聯絡,不過你的基本功看起來缺失了不少,如果不把基本功補好的話搭空中樓閣是沒有多大意義的。

正定矩陣的幾何意義和應用舉例

7樓:匿名使用者

任意一個向量x,跟他垂直的超平面把空間分成兩部分,一部分和x在同一側,即滿足和x的內積為正的那側,一部分在異側,內積為負。

由定義,正定的線性變換把任意一個向量x都變到x的同側。

如果它有實特徵值,必定是正數,否則的話它會把這特徵向量變到另側。

一個線性變換把一組么正基e1,...,en變到另一組向量v1,...,vn,這n個新向量的端點和原點一起構成一個多面體。

這多面體的體積就是線性變換的行列式。對正定變換來說,其行列式為正,所以這個多面體非退化,且v1,...,vn確定的定向和e1,...

,en確定的定向相同。

補充:不會保持形狀不變.保持不變的必須是等距,就是說,必須是正交變換o(n).

正定變換一般最常見的情況是正定對稱變換.正定對稱變換最常見的情況是用來定義內積.即定義= x'ay為x,y的內積.歐氏空間的內積用i來定義,即=x'y.

8樓:眼淚是愛的花火

正定矩陣在對三維空間裡的圖形進行線性變換時不改變圖形的形狀,這就是它的最大意義。

如果A是正定矩陣,那麼A一定是實對稱矩陣對嗎?高手幫解釋一下,謝謝

顯然不對,比如矩陣 a 第一行 3,4 第二行 4,6.這不是對稱陣,但是它是正定矩陣.正定判回定如下 計算二次型 x1,x2 a x1,x2 答t 3 x1 2 2 x1 x2 2 x2 2 3 x1 x2 2 x2 2 0.望採納 如果a正定,則a合同與e,ctac e,ctac t et,所以...

設a是n階實對稱矩陣,則a是正定矩陣當且僅當對任意正實數k,ki a的特徵值都小於k

你好!充分性 來若有a的某特徵 值 自 0,則ki a的特徵值baik k,矛盾。du所以a的所有特徵zhi值都大於0,從而a是正定dao陣。必要性 若a是正定陣,則a的所有特徵值 都大於0,從而對任意正實數k,ki a的特徵值k 經濟數學團隊幫你解答,請及時採納。謝謝!設a是n階實對稱矩陣,證明a...

什麼是對稱矩陣,把實解釋一下,什麼是對稱矩陣,把實解釋一下

對稱矩陣是元素以對角線為對稱軸對應相等的矩陣。如果有n階矩陣a,其各個元素都為實數,且aij aji 置為其本身 則稱a為實對稱矩陣。主要性質 1.實對稱矩陣a的不同特徵值所對應的特徵向量是正交的。2.實對稱矩陣a的特徵值都是實數,特徵向量都是實向量。3.n階實對稱矩陣a必可對角化。4.可用正交矩陣...