1樓：匿名使用者
正 三向量a,b,c的雙重向量積的證明方法很多,這裡介紹一種比較直觀的證法。
為了證明 a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c (1) 只需證明 a~0×(b~0×c~0)=(a~0·c~0)b~0-(a~0·b~0)·c~0 (2) 其中a~0,b~0,c~0為單位向量。因為若(2)成立,則在它的兩邊同時乘以|a|,|b|,|c|,立即得到(1)。
設三向量a,b,c都不是零向量,且b,c不共線以及a不與b,c垂直。將三向量的起點置於同一點o,b=ob和c=oc所在的平面為π,
向量的外積運算推導過程
2樓：山野田歩美
i=(1,0,0)
j=(0,1,0)
k=(0,0,1)
代入公式，再作加減即可
三階行列式
方法：（僅限三階）
沙路法：
把i，j兩列重抄在整個式子右方
左上到右下各項相乘再相加
i*ay*bz+j*az*bx+k*ax*by左下到右上各項相乘再相加
bx*ay*k+by*az*i+bz*ax*j前式減後式，即為此行列式之值
3樓：魚心曉
如下圖所示，向量在直角座標系下的表示形式。
向量外積公式
4樓：闖將
i=(1,0,0)
j=(0,1,0)
k=(0,0,1)
代入公式，再作加減即可
三階行列式方法：（僅限三階）
沙路法：
把i，j兩列重抄在整個式子右方
左上到右下各項相乘再相加
i*ay*bz+j*az*bx+k*ax*by左下到右上各項相乘再相加
bx*ay*k+by*az*i+bz*ax*j前式減後式，即為此行列式之值
5樓：匿名使用者
會代數餘子式行列式嗎
6樓：靳璞頻清潤
a.b=|a|.|b|sine
7樓：鈕玉芬孛辰
不需要用外積就可以求！
設三點為a、b、c,則向量ab與向量ac可求。（ab、ac、bc三個選哪兩個都可以）
設這個法向量是a=（x,y,z),則有向量a點乘向量ab為0，向量a點乘向量ac為0，
則可解出向量a,這裡要注意的是我們解出的a是含有一個參量的，可是是x、y、z中的任何一個，在具體題裡，可以根據已知去確定把三者的哪個定為參量，假設我們解出的是a=(2y,y,3y/5),再把y賦具體的值就可以，這裡可以是1，為了不出分數，也可以是5.
向量的外積表示式與方向。
8樓：匿名使用者
其中i,j,k是三個單位向量.
行列式按第一行就行.
外積定義
把向量外積定義為
：符號表示：a× b
大小：|a|·|b|·sin.
方向：右手定則：若座標系是滿足右手定則的，設z=x×y,|z|=|x||y|*sin；則x,y,z構成右手系，伸開右手手掌，四個手指從x軸正方向方向轉到y軸正方面，則大拇指方向即為z正軸方向。
外積的座標表示：
（x1,y1,z1）×（x2,y2,z2）=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1）
外積的分配律a× (b+c) = a ×b +a ×c
分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。
下面給出代數方法。我們假定已經知道了：
1）外積的反對稱性：
a× b= - b× a.
這由外積的定義是顯然的。
2）內積（即數積、點積）的分配律：
a·（b+ c) = a·b+ a·c,
（a+ b）·c= a·c+ b·c.
這由內積的定義a·b= |a|·|b|·cos；，用投影的方法不難得到證明。
3）混合積的性質：
定義（a×b）·c為向量a,b,c的混合積，容易證明：
i) (a×b）·c的絕對值正是以a,b,c為三條鄰稜的平行六面體的體積 外積，其正負號由a,b,c的定向決定（右手係為正，左手係為負）。
簡單證明：體積v=底面積s×高h
=|a×b|×|h|
=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)
=|a×b|×(c·h)/|h|
而|h|=|a×b|
所以 v=c·h=c·(a×b）
從而就推出：
ii) (a×b）·c= a·（b×c)
所以我們可以記a,b,c的混合積為（a,b,c).
由i）還可以推出：
iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
我們還有下面的一條顯然的結論：
iv) 若一個向量a同時垂直於三個不共面矢a1,a2,a3，則a必為零向量。
外積的分配律證明下面我們就用上面的1）2）3）來證明外積的分配律。
設r為空間任意向量，在r·（a×（b+ c））裡，交替兩次利用3）的ii）、iii）和數積分配律2），就有
r·（a×（b + c))
= (r×a)·（b+ c)
= (r×a）·b+ (r×a）·c
= r·（a×b) + r·（a×c)
= r·（a×b+ a×c)
移項，再利用數積分配律，得
r·（a×（b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0
這說明向量a×（b+ c) - (a×b+a×c）垂直於任意一個向量。按3）的iv），這個向量必為零向量，即
a×（b+ c) - (a×b+ a×c) = 0
所以有a×（b+ c) = a×b+a×c.證畢
9樓：松茸人
向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。
其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。
兩個向量a和b的叉積寫作a×b（有時也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。 [1]
定義向量積可以被定義為：。
模長：（在這裡θ表示兩向量之間的夾角（共起點的前提下）（0°≤θ≤180°），它位於這兩個向量所定義的平面上。）
方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的：
若座標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）
也可以這樣定義（等效）：
向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin
即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
*運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的座標系中c可能不同。 [1]
座標運算
設=（），=（）。i，j，k分別是x，y，z軸方向的單位向量，則 [1] ：
a×b=（-）i+（-）j+（-）k，為了幫助記憶，利用三階行列式，寫成det
證明為了更好地推導，我們需要加入三個軸對齊的單位向量i，j，k。
i，j，k滿足以下特點：
i=jxk；j=kxi；k=ixj；
kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；
ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）
由此可知，i，j，k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個座標系。
這三個向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。
對於處於i，j，k構成的座標系中的向量u，v我們可以如下表示：
u=xu*i+yu*j+zu*k；
v=xv*i+yv*j+zv*k；
那麼uxv=（xu*i+yu*j+zu*k）x（xv*i+yv*j+zv*k）
=xu*xv*（ixi）+xu*yv*（ixj）+xu*zv*（ixk）+yu*xv*（jxi）+yu*yv*（jxj）+yu*zv*（jxk）+zu*xv*（kxi）+zu*yv*（kxj）+zu*zv*（kxk）
由於上面的i，j，k三個向量的特點，所以，最後的結果可以簡化為
uxv=（yu*zv–zu*yv）*i+（zu*xv–xu*zv）*j+（xu*yv–yu*xv）*k。 [1]
與數量積的區別
注：向量積≠向量的積（向量的積一般指點乘）
一定要清晰地區分開向量積（矢積）與數量積（標積）。見下表。
幾何意義及其運用
叉積的長度|a×b|可以解釋成這兩個叉乘向量a，b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c為稜的平行六面體的體積。 [1]
代數規則
1、反交換律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、與標量乘法相容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的r3構成了一個李代數。
6、兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
這是一個著名的公式，而且非常有用：
（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）
a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成「bac-cab」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分運算元不成立。
這裡給出一個和梯度相關的一個情形：
這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是：
這是一個在四元數代數中範數乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。 [2]
矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：
i×j=k；
j×k=i；
k×i=j；
通過這些規則，兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設
a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；
b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；
則a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量[a1，a2，a3]表示成四元數a1i+a2j+a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：
計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。 [2]
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質：
雙線性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；
反交換律：x×y+y×x=0；
同時與x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；
拉格朗日恆等式：|x×y|²=|x|²|y|²-（x·y）²；
不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。
希望我能幫助你解疑釋惑。
二重怪獸的主題二重怪獸
中文名 元素英雄 次新宇俠 日文名 e hero 英文名 elemental hero neos alius 卡片種類 效果怪獸 卡片密碼 69884162 使用限制 無限制 種族 戰士 屬性 光 星級 4 攻擊力 1900 防禦力 1300 罕見度 銀字r，面閃sr，平卡n，立體utr，斜碎scr...
二重積分證明題如圖,二重積分證明題如圖
先看被積函式 integrand，再看積分割槽域 boundary domain interval area a 先看被積函式 是否是關於x的對稱函式，再看是否是關於y的對稱函式 千萬不要急於求成，同時看是否是關於x y的對稱函式 b 再畫出積分割槽域，看看積分割槽域是否對稱與x軸，或對稱於y軸 a...
利用二重積分的幾何意義證明,利用二重積分的幾何意義，說明下列等式的正確性
二重積分 f x,y dxdy的幾何意義是曲頂柱體的體積，其中柱體的底為積分割槽域d，頂為z f x,y 確定的曲面。本題中z a 2 x 2 y 2 表示球體x 2 y 2 z 2 a 2的上半部分，底面時xoy平面上的x 2 y 2 a 2，根據幾何意義，積分等於這上半球體的體積 2 a 3 3...