1樓：裝作_不認識
這個可以推出來的 課本上是用 完全歸納法 其實還有一種。
由於(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以 2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1
… …n ^3 = n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) +1
(n+1)^3 = n ^3 + 3* n ^2 + 3* n + 1
上面所有式子相加，並在兩邊同時減去相同的項：
(n+1)^3 = 1^3 + 3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+n-1)+n]+n
不妨記[1^2+2^2+3^2+4^2+…+n-1)^2+n^2]為s。
則n^3+3n^2+3n+1=1+3*s+3*(1+n)*n/2+n
化簡得：s=n(n+1)*(2n+1)/6
1^2+2^2+3^2+……n^2=?求通項公式
2樓：匿名使用者
那個表示二次方。
那個等於n(n+1)(2n+1)/6
證明：1^2+2^2+3^2+4^2+..n^2=?
解：利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(1+2+3+..n)+n,由於1+2+3+..n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(n+1)n/2+n
1^3+2^3+**n^3=n^2(n+1)^2/4
類似的利用恆等式。
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
得 (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
n個等式兩邊相加得。
(n+1)^-1^4=4(1^3+2^3+ .n^3)+6*(1^2+2^2+ .n^2)+4(1+2+3+..n)+n
代入1^2+2^2+3^2+..n^2=n(n+1)(2n+1)/6 及1+2+3+..n=(n+1)n/2
整理得4(1^3+2^3+ .n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n
4(1^3+2^3+ .n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n
4(1^3+2^3+ .n^3)=n^4+2n^3+n^2
(1^3+2^3+ .n^3)=n^2(n^2+2n+1)/4
=n^2(n+1)^2/4
摘抄他人答案。。。
3樓：匿名使用者
(1^2+2^2+..n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6
由於n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+..n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+..n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前後消項]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+..n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
或者數學歸納法。或者。
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加。
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+..n^2)+[1^2+2^2+..n-1)^2]-(2+3+4+..n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2+[1^2+2^2+..n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+..n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2-n^2-(1+2+3+..n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+..n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+..n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+..n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6
數列1^4+2^4+3^4+......+n^4的通項公式 20
4樓：匿名使用者
首先要知道1^2+2^2+3^2+……n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……n^3=[n(n+1)/2]^2
實際上上面兩個公式的求法和題目的方法是一樣的。
……(n+1)^5=n^5+5×n^4+10×n^3+10×n^2+5×n^1+1
上式相加，相同項消去。
(n+1)^5=1^5+5×(1^4+2^4+……n^4)+10×(1^3+2^3+……n^3)+10×(1^2+2^2+……n^2)+5×(1+2+……n)+(1+1+……1)
5×(1^4+2^4+……n^4)=(n+1)^5-10×[n(n+1)/2]^2-10×n(n+1)(2n+1)/6-5×n(n+1)/2-n-1
化簡得1^4+2^4+……n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
5樓：匿名使用者
奇數項是-，偶數項是+
所以前面有(-1)^n
分子是奇數2n-1
分母是偶數平方(2n)^2
所以an=(-1)^n*(2n-1)/(4n^2)
1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是什麼
6樓：你愛我媽呀
^s=(1/6)n(n+1)(2n+1)。
推導過程：設s=1^2+2^2+..n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+..n^2] +3*[1+2+..n] +n
所以s= (1/3)*[n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] 1/6)n(n+1)(2n+1)
7樓：等待楓葉
^^1^2+2^2+3^2+4^2+..n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
解：1、因為當n=1時，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，2、當n=2時，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，3、設n=k（k≥2，k為正數）時，1^2+2^2+3^2+..k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成立。
那麼當n=k+1時，1^2+2^2+3^2+..k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2，而k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(k+1))
=(k+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6
=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)
=1/6*(k+1)*(2k+3)*(k+2)
=(k+1)*(k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6，即1^2+2^2+3^2+..k^2+(k+1)^2=(k+1)*(k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6也滿是公式。
所以根據數學歸納法，對一切自然數n有1^2+2^2+3^2+4^2+..n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
8樓：趙芷曼
^^設s=1^2+2^2+..n^2(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+..n^2] +3*[1+2+..n] +n
所以s= (1/3)*[n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] 1/6)n(n+1)(2n+1)
9樓：匿名使用者
^^設s=1^2+2^2+..n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ..
..2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+..
+n^2] +3*[1+2
10樓：東東西西580怕
想像一個有圓圈構成的正三角形，第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，以此類推。
第n行n個圈，圈內的數字都為n，我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+……n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
通項公式為n^2,求前n項和
11樓：匿名使用者
用1樓的數學歸納法，2樓的累加法都可，鑑定完畢。
12樓：匿名使用者
了，怎麼沒了。。。
(n+1)^內3-n^3=3n^2+3n+1...
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^1)+3*1+1兩邊做和。
(n+1)^3-1=3∑n^2+3∑n+n所以∑n^2=[(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n]/3你自容己化簡下吧。
急求(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+......+(1/n)^2的簡單通項公式,謝謝
13樓：網友
n趨近+∞時，1＋1/2²＋1/3²＋ 1/n²的值趨近於π²/6
這個首先是由尤拉推出來的，要用到泰勒公式。
將sinx按泰勒級數，得：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋
於是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋
令y＝x²，則有sin(√y)/(y)＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋
而方程sinx＝0的根為0、±π2π、…
故方程sin√y/√y＝0的根為π²、2π)²
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…0的根為π²、2π)²
由韋達定理，常數項為1時，根的倒數和＝一次項係數的相反數。
即，1/π²1/(2π)²1/3!
所以，(1/1)²＋1/2)²＋1/3)²＋1/n)²＋6
1!+2!+3!+......+n! 的通項公式 50
14樓：大歌星
把1083分裝進若干個口袋裡，這樣我就可以在1至1083中任選一個數量。而你則在不開啟口袋的情況下，通過給我一定數量的口袋而滿足我要求的數量。你最少需要多少個口袋？
an 1 2an 2 n求通項公式
1 a n 1 2an 2 n 兩邊同除以2 n 1 a n 1 2 n 1 an 2 n 1 2令bn an 2 n b n 1 bn 1 2 d 所以是等差數列，b1 a1 2 a 2,你沒有給出a1 bn a 2 n 1 1 2 n 2 a 1 2an 2 n n 2 a 1 2 an 2 n...
已知數列an的通項公式an 4n 25（n屬於n
an 4n 25 sn n a1 an 2 n 21 4n 25 2 n 2n 23 a6 1 0,a7 3 0 tn a1 a2 an 當n 7時 tn a1 a2 an a1 a2 an sn n 2n 23 當n 7時 tn a1 a2 an a1 a2 a6 a7 a8 an sn 2s6 ...
已知a1 1,an an 1 3 n求數列的通項公式
解 題中的an 1應該是a n 1 吧，an an 1 3 n a n 1 a n 2 3 n 1 a2 a1 3 2 由以上各式相乘得 an a1 3 n n 1 2 3 n 2 n 1 2 因為a1 1 所以，an 3 n 2 n 1 2 an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 ...