1樓：意外的藏寶圖
在三角形abc中,求證:cosa+cosb+cosc=<3/2 maxlove的方法正確，但中學同學接受不了。 下面給三個中學生可以理解的方法。
證明一 （逐步調整法）由和差化積公式得 cosa+cosb+cosc+cos(π/3) =2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]+2cos[(c+π/3)/2]cos[(c-π/3)/2] <=2 =4cos[(a+b+c+π/3)/4]cos[(a+b-c-π/3)/4] <=4cos[(a+b+c+π/3)/4] =4cos[(π+π/3)/4] =4cos(π/3), 所以cosa+cosb+cosc<=3cos(π/3)=3/2. 注：仿上可證：
sina+sinb+sinc<=3√3/2 證明二 (一元化方法) cosa+cosb+cosc=cosa+2cos[(b+c)/2]cos[(b-c)/2] <=cosa+2cos[(b+c)/2] =1-2[sin(a/2)]^2+2sin(a/2) =-2[(sin(a/2)-1/2]^2+3/2 <=3/2 證明三 (配方法) cosa+cosb+cosc=<3/2 <==>(1-cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2>=0 注：一般地，在三角形abc中，對於任意實數x,y,z,有如下著名的「三角形嵌入不等式」： x^2+y^2+z^2>=2yzcosa+2zxcosb+2xycosc.
(*) 證明：(*)<==>(z-ycosa-xcosb))^2+(ysina-xcosb)^2>=0 特別地，在(*)式中，取x=y=z=1,即得 cosa+cosb+cosc=<3/2 (1) 在(*)式中，取a=b=c=π/3,即得 x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx (2) 因此，不等式(*)是兩個常用不等式(1),(2)的聯合推廣.
2樓：匿名使用者
由函式的上凸性，這是很顯然的
在三角形abc中，求證：cosa+cosb+cosc=1+4sina/2sinb/2sinc/2如題 謝謝了
3樓：風子
步驟太多不好傳啊！關鍵 c=180°-a-b 代入等式兩邊 再依次化簡 千萬不要爬麻煩啊！用倒的公式：
cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb cosa=1-cos（a*a/4）
解題高手來：在三角形abc中，求證：cosa+cosb+cosc≤3/2
4樓：匿名使用者
同意用柯西不等式，高一數學書上有個無蓋方盒的最大容積問題(鐵皮四個角各減去一個小正方形)，就是用(a+b+c)/3>=(abc)^1/3
5樓：匿名使用者
樓上太麻煩了....
(cosa+cosb+cosc)/3<=三次根號cosacosbcosc
當且僅當cosa=cosb=cosc時取等所以a=b=c=π/3
所以(cosa+cosb+cosc)/3<=三次根號1/2*1/2*1/2
(cosa+cosb+cosc)/3<=1/2(cosa+cosb+cosc)/3<=3/2這叫柯西不等式定理
6樓：匿名使用者
此題方法很多
最簡單可能是用尤拉定理來做
直接運用恆等式:
cosa+cosb+cosc=1+r/r
和尤拉不等式r>=2r
就行了其他方法易於理解
我記得有好多種
證明一 （逐步調整法）由和差化積公式得
cosa+cosb+cosc+cos(π/3)
=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]+2cos[(c+π/3)/2]cos[(c-π/3)/2]
<=2=4cos[(a+b+c+π/3)/4]cos[(a+b-c-π/3)/4]
<=4cos[(a+b+c+π/3)/4]
=4cos[(π+π/3)/4]
=4cos(π/3),
所以 cosa+cosb+cosc<=3cos(π/3)=3/2.
注：仿上可證：sina+sinb+sinc<=3√3/2
證明二 (一元化方法)
cosa+cosb+cosc=cosa+2cos[(b+c)/2]cos[(b-c)/2]
<=cosa+2cos[(b+c)/2]
=1-2[sin(a/2)]^2+2sin(a/2)
=-2[(sin(a/2)-1/2]^2+3/2
<=3/2
證明三 (配方法)
cosa+cosb+cosc=<3/2
<==>(1-cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2>=0
注：一般地，在三角形abc中，對於任意實數x,y,z,有如下著名的「三角形嵌入不等式」：
x^2+y^2+z^2>=2yzcosa+2zxcosb+2xycosc. (*)
證明：(*)<==>(z-ycosa-xcosb))^2+(ysina-xcosb)^2>=0
特別地，在(*)式中，取x=y=z=1,即得
cosa+cosb+cosc=<3/2 (1)
在(*)式中，取a=b=c=π/3,即得
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx (2)
因此，不等式(*)是兩個常用不等式(1),(2)的聯合推廣.
7樓：
利用餘弦定理即可解決
如何證明在三角形abc中，cosa+cosb+cosc≤二分之三
8樓：慕野清流
證明一 （逐步調整法）由和差化積公式得
cosa+cosb+cosc+cos(π/3)
=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]+2cos[(c+π/3)/2]cos[(c-π/3)/2]
<=2=4cos[(a+b+c+π/3)/4]cos[(a+b-c-π/3)/4]
<=4cos[(a+b+c+π/3)/4]
=4cos[(π+π/3)/4]
=4cos(π/3),
所以 cosa+cosb+cosc<=3cos(π/3)=3/2.
證明二 (一元化方法)
cosa+cosb+cosc=cosa+2cos[(b+c)/2]cos[(b-c)/2]
<=cosa+2cos[(b+c)/2]
=1-2[sin(a/2)]^2+2sin(a/2)
=-2[(sin(a/2)-1/2]^2+3/2
<=3/2
證明三 (配方法)
cosa+cosb+cosc=<3/2
<==>(1-cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2>=0
注：一般地，在三角形abc中，對於任意實數x,y,z,有如下著名的「三角形嵌入不等式」：
x^2+y^2+z^2>=2yzcosa+2zxcosb+2xycosc. (*)
在三角形ABC中, a b sin A Ba b sin A B ,試判斷三
a b sin a b a b sin a b sin a b 0 a b 90 直角三角形。在 abc中,a.b.c.分別表示三個內角a,b,cd 對邊,如果 a 2 b 2 sin a b a 2 b 2 sin a b 且a b 我實在看不出來這個等式兩邊有什麼不同 在 abc中，a b si...
在三角形ABC中，acosC，則三角形一定是什麼三角形
a cosa b cosb c cosc 又由正弦定理得 a sina b sinb c sinc 兩式相比得 sina cosa sinb cosb sinc cosc即tana tanb tanc，又a b c為三角形內角，所以 a b c，即些三角形是正三角形。在三角形abc中，a cosa ...
在三角形abc中已知acosabcosbccosc則三角形
acosa bcosb ccosc sinacosa sinbcosb sinccosc sin2a sin2b sin2c sin 2 2a 2b sin 2a 2b 0 sin2a sin2b sin 2a 2b sin2a sin2b sin2acos2b sin2bcos2a sin2a 1...