1樓：尐之逸
（a-b）-（a+b-2）
=a-b-a-b+2
=2-2b
因為b>1，所以2b>2
所以2-2b<0
即a-b 2樓：發惹我 第89回 人亡物在公子填詞 蛇影杯弓顰卿絕粒 第90回 失綿衣貧女耐嗷嘈 送果品小郎驚叵測 不等式證明都有哪幾種方法 3樓：琳述 比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較） 例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2 分析：由題目觀察知用"作差"比較，然後提取公因式，結合a+b≥0來說明作差後的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。 ∵（a3+b3)(a2b+ab2) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) 證明： =(a-b)2(a+b) 又∵(a-b)2≥0a+b≥0 ∴(a-b)2(a+b)≥0 即a3+b3≥a2b+ab2 例2 設a、b∈r+，且a≠b，求證：aabb＞abba 分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商後同"1"比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小 證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則 aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b ∵ab0，∴ab1，a-b0 ∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba 練習1 已知a、b∈r+，n∈n，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1） 基本不等式法 利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有： （1）若a、b∈r，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號） （2）若a、b∈r+，則a+b≥ 2ab （當且僅當a=b時，取等號） （3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號） 例3 若a、b∈r， ｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤1 分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22 證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1 ∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立 練習2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥3 綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。 例4，設 a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(b+1b)2≥252 證明：∵ a0，b0，a+b=1 ∴ab≤14或1ab≥4 左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2 =4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252 練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f (n)=1gan+bn+cn3 求證：2f（n）≤f（2n） 分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。 例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab 分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價於 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。 要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab 只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab 證明： 即證 ｜a-c｜＜c2-ab 即證 (a-c)2＜c2-ab 即證 a2-2ac＜-ab ∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知 ∴ 不等式成立 練習4：已知a∈r且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2 放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）捨去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。 例6：已知a、b、c、d都是正數 求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2 分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。 證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1 又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d ∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2 綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2 練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1 6換元法 換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用於條件不等式的證明，常見的是三角換元。 (1)三角換元： 是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函式進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函式的性質去解決問題。 例7、若x、y∈r+,且 x-y=1 a=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜a＜1 證明： ∵x，y∈r+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ） ∴ a=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ =1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ =sinθ ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜a＜1 複習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3 (2)比值換元： 對於在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然後代入求證式，即可。 例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314 證明：設x-1=y+12=z-23=k 於是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2 把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2 =14(k+514)2+4314≥4314 反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推匯出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。 例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2 分析：本題已知為p、q的三次 ，而結論中只有一次 ，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。 證明：解設p+q＞2，那麼p＞2-q ∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3 將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0 即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2 練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0. 求證：a＞0，b＞0，c＞0 數學歸納法 與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。 例10：設n∈n，且n＞1,求證： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12 分析：觀察求證式與n有關，可採用數學歸納法 證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52 ∵43＞52∴不等式成立 （2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那麼當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)① 要證①式左邊＞ 2k+32，只要證2k+12· 2k+22k+1＞2k+32② 對於②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3 〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3) 〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3 〈二〉4＞3 ③ ∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立 由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈n），原不等式成立 練習8：已知n∈n，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324 構造法根據求證不等式的具體結構所證，通過建構函式、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。 1建構函式法 例11：證明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0） 證明：設f（x）= x1-2x- x2 （x≠0） ∵f (-x) =-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2 =x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2 =f（x） ∴f（x）的影象表示y軸對稱 ∵當x＞0時，1-2x＜0 ，故f（x）＜0 ∴當x＜0時，據影象的對稱性知f（x）＜0 ∴當x≠0時，恆有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0） 練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab 2構造圖形法 例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b| 分析：由1+x2 的結構可知這是直角座標平面上兩點a(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2 於設a(1，a)，b(1，b)則0a= 1+a2 a 當n 2時，ln2 2 ln2 4 1 4 2 2 2 1 4 2 1 5 12 因為ln2 2 1 4 5 12成立 所以n 2時，ln2 2 ln3 3 lnn n 2n n 1 4 n 1 成立。b 假設n k時成立，有 ln2 2 ln3 3 lnk k 2k k 1 4 k 1 則當n... 第一題可分類討論x 1 0，x 2 0或x 1 0,x 2 0，可知選d 第二題可化為 x 3 x 2 0，分類討論，可知選a 第三題，可用根軸法，分別取點 2,1 2,2，可知選b 根軸法 畫一條x軸，在上面取點，右上引線，穿針過 1 可用排除法 特殊值法 假設x 1,取x 2,那麼 x 1 x ... 樓主往這裡看啊 當x 1時，原不等式化為2 x 1 x 0，則1 0當1 x 2時，原不等式化為2 x x 1 0，則x 3 2，所以此時x範圍是1 x 3 2 當x 2時，原不等式化為x 2 x 1 0，無解所以，x的範圍是 3 2 望採納 o o哈哈 原式可轉化為 1.當x 1時，1 0 2.當...關於不等式的數學題
初中數學問題 講解不等式，初中數學不等式問題
數學不等式的解法，不等式的解法過程