已知函式fxxlnx,gxx2ax

1樓:戰車隱者

(1)令f'(x)=lnx+1=0,得抄x=1/e,

當0在襲[t,1/e]上是減函式bai,

在[1/e,t+2]上是增函式,

所以f(x)在[t,t+2]上的最du小值是zhif(1/e)=-1/e;

當t>=e^dao(-1)時,f(x)在[t,t+2](t>0)是增函式,

f(x)在[t,t+2]的最小值是f(t)=tlnt.

(2)由不等式2f(x)≥g(x)

得2xlnx≥-x^2+ax-3 ,

即2lnx+x+3/x≥a,

令g(x)=2lnx+x+3/x,

對g(x)求導得

g'(x)=2/x+1-3/x^2=(x^2+2x-3)/x^2=(x+3)(x-1)/x^2

令g'(x)=0

得x=-3或x=1,

所以g(x)在(0,1)是減函式,在[1,∞)上是增函式,x=1是最小值點。

故有 g(x)的最小值是g(1)=4,

所以a≤4.

(3)由lnx>1/(e^x)-2/(ex)可得

lnx-[1/(e^x)-2/ex)]>0

令h(x)=lnx-[1/(e^x)-2/(ex)]

求導得 h'(x)=(1/x)+1/e^x+2/(ex^2)

先寫到這裡,等你補充說明後接著解答

已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恆成立,求實數a的取值範圍

2樓:手機使用者

2xlnx≥-x2+ax-3對x∈(

bai0,du+∞)恆成立zhi,

等價於a≤x+2lnx+3x,

令h(x)=x+2lnx+3

x,x∈(0,+∞),

h′(daox)=1+2x-3

x=(x+3)(x?1)x,

當0

當x>1時,h′(x)>0,h(x)單調增,∴h(x)min=h(1)=4,

∴a≤4.

已知函式f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(其中a實數,e是自然對數的底數).(i)當a=5時,求函式y

3樓:y哥製造

(i)當a=5時,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g′(x)=(-x2+3x+2)ex,

故切線的斜率為g′(1)=4e,且g(1)=e,所以切線方程為:y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(ii)f′(x)=lnx+1,

令f′(x)=0,得x=1e,

1當t≥1

e時,在區間(t,t+2)上,f′(x)>0,f(x)為增函式,所以f(x)min=f(t)=tlnt,

2當0

e時,在區間(t,1

e)上f′(x)<0,f(x)為減函式,

在區間(1

e,e)上f′(x)>0,f(x)為增函式,所以f(x)min=f(1

e)=-1e;

(iii) 由g(x)=2exf(x)可得2xlnx=-x2+ax-3a=x+2lnx+3x,

令h(x)═x+2lnx+3

x,h′(x)=1+2x-3

x=(x+3)(x?1)xx

(1e,1)1

(1,e)

h′(x)-0

+h(x)

單調遞減

極小值(最小值)

單調遞增

h(1e

)=1e

+3e-2,h(1)=4,h(e)=3

e+e+2,

h(e)-h(1

e)=4-2e+2e<0

則實數a的取值範圍為(4,e+2+3e].

已知函式f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-3對於一切x∈(0,正無窮),2f(x)大於等於g(x)恆成立

4樓:匿名使用者

^設g(x)=2xlnx-(-x^2+ax-3)=xlnx+x^2-ax+3

g'(x)=2lnx+2+2x-a

g''(x)=2/x+2>0

g'(x)是一個單調襲

遞增的函式bai

又因為當x趨近於

du正無窮時,

zhidaog'(x)趨近於正無窮。當x趨近於零時,g'(x)趨近於負無窮。

所以,一定存在一個點x0使得g'(x0)=0;又因為g'(x)是一個單調遞增的函式,g'(x)先小於零後大於零,

所以g(x)在x=x0處取得最小值。

當x=x0時,以下兩式成立則滿足2f(x)大於等於g(x)恆成立。

2x0lnx0+x0^2-ax0+3>0 1

2lnx0+2+2x0=a 2

將2式帶入1式得,2x0lnx0+x0^2+3-2x0lnx0-2x0-2x0*x0=3-2x0-x0*x0>0

得到:-3

又因為a=2lnx0+2+2x0 (0

所以a的範圍為(負無窮,4]

已知函式f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(i)求函式f(x)的最小值;(ii)對一切x∈(0,+∞),2f(x

5樓:摯愛慧瑩鰩汔

(i)f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)的導數f'(x)=1+lnx.

令f'(x)>0,解得x>1e;

令f'(x)<0,解得0

從而f(x)在(0,1

e)單調遞減,在(1

e,+∞)單調遞增.

所以,當x=1

e時,f(x)取得最小值-1e.

(ii)若2f(x)≥g(x),則a≤2lnx+x+3x,設h(x)=2lnx+x+3x,

則h′(x)=2

x+1-3x=x

+2x?3

x=(x+3)(x?1)

x∵x∈(0,1)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,∴h(x)min=h(1)=4

故a≤4

即實數a的取值範圍為(-∞,4]

證明:(iii)若lnx>1ex

?2ex

則lnx?x>xex

?2e,由(i)得:lnx?x≥?1

e,當且僅當x=1

e時,取最小值;

設m(x)=xex

?2e,則m′(x)=1?xex

,∵x∈(0,1)時,m′(x)>0,h(x)單調遞增,x∈(1,+∞)時,m′(x)<0,h(x)單調遞減,故當x=1時,h(x)取最大值?1

e故對一切x∈(0,+∞),都有lnx>1ex?2ex成立.

已知函式f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-3 5

6樓:手機使用者

1)令f'(x)=lnx+1=0,得x=1/e,當0)在[t,1/e]上是減函式,

在[1/e,t+2]上是增函式,

所以f(x)在[t,t+2]上的最小值是f(1/e)=-1/e;

當t>=e^(-1)時,f(x)在[t,t+2](t>0)是增函式,f(x)在[t,t+2]的最小值是f(t)=tlnt.

(2)由不等式2f(x)≥g(x)

得2xlnx≥-x^2+ax-3 ,

即2lnx+x+3/x≥a,

令g(x)=2lnx+x+3/x,

對g(x)求導得

g'(x)=2/x+1-3/x^2=(x^2+2x-3)/x^2=(x+3)(x-1)/x^2

令g'(x)=0

得x=-3或x=1,

所以g(x)在(0,1)是減函式,在[1,∞)上是增函式,x=1是最小值點。

故有 g(x)的最小值是g(1)=4,

所以a≤4.

(3)由lnx>1/(e^x)-2/(ex)可得lnx-[1/(e^x)-2/ex)]>0令h(x)=lnx-[1/(e^x)-2/(ex)]求導得 h'(x)=(1/x)+1/e^x+2/(ex^2)

已知函式f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-3 5

7樓:嘿哦哈喲

1、f'(x)=2(lnx+1)

01/e f'(x)>0 f(x)遞增

所以x=1/e是

極小值點,又唯一,那麼就是最小值點

最小值是f(1/e)=-2/e

2、2xlnx<=-x^2+ax-3 a<=x+2lnx+3/x恆成立 所以a<=min

令h(x)=x+2lnx+3/x

h'(x)=1+2/x-3/x^2=(x^2+2x-3)/x^2=(x+3)(x-1)/x^2

01 h'(x)>0 h(x)遞增

所以h(x)最小值是h(1)=4

所以a<=4

3、可以看h(x)=x/e^x-2/e

h'(x)=(1-x)/e^x

00 x>1 h'(x)<0

h(x)最大值為h(1)=-1/e

而由第一問可知xlnx>=-1/e>=x/e^x-2/e且兩個等號不同時成立

所以xlnx>x/e^x-2/e

所以lnx>(1/e^x-2/ex)

8樓:手機使用者

(1)令f'(x)=lnx+1=0,得x=1/e,當0在[t,1/e]上是

減函式,

在[1/e,t+2]上是增函式,

所以f(x)在[t,t+2]上的最小值是f(1/e)=-1/e;

當t>=e^(-1)時,f(x)在[t,t+2](t>0)是增函式,f(x)在[t,t+2]的最小值是f(t)=tlnt.

(2)由不等式2f(x)≥g(x)

得2xlnx≥-x^2+ax-3 ,

即2lnx+x+3/x≥a,

令g(x)=2lnx+x+3/x,

對g(x)求導得

g'(x)=2/x+1-3/x^2=(x^2+2x-3)/x^2=(x+3)(x-1)/x^2

令g'(x)=0

得x=-3或x=1,

所以g(x)在(0,1)是減函式,在[1,∞)上是增函式,x=1是最小值點。

故有 g(x)的最小值是g(1)=4,

所以a≤4.

(3)由lnx>1/(e^x)-2/(ex)可得lnx-[1/(e^x)-2/ex)]>0令h(x)=lnx-[1/(e^x)-2/(ex)]求導得 h'(x)=(1/x)+1/e^x+2/(ex^2)

9樓:匿名使用者

f'(x)=(xlnx)'=lnx+1

當1t≤x≤t+2時lnx+1>0,即f(x),單調增加

所以f(x)在[t,t+2]上的最小值為f(t)=tint

已知函式fxxlnx,gxx2ax

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