1樓:匿名使用者
dz也就是全bai
微分,它是定義出
du來的線性zhi函式;
而正如你所說,△
daoz的變化因版素有三個,權一個是△z(x),一個是△z(y),還有一個是o(ρ),
o(ρ)是自變數(x,y)在二元座標平面的變化距離√(△x^2+△y^2)的高階無窮小量。
總之,全是定義惹的禍~
按照這樣來看你的第一個例子就有合理的解釋了,是因為定義中全微分就是線性函式,這個線性函式包含了△z的三個變化因素中的前兩個。
而擬具的第二個例子,只有當o(ρ)趨於零時,即z=f(x,y)在討論的點可微時,才有dz趨於adx+bdy而書上也說了,類似於一元函式,我們可以寫△x=dx,△y=dy,什麼時候可以寫呢?自然是可微時嘍~
這樣你的第二個問題也就迎刃而解啦~
全微分和全增量有什麼區別啊 ??本人自學。辛苦啊。詳細一點,謝謝了昂
2樓:demon陌
區別:
以二元函式z=f(x,y)為例,考慮一點(x,y),當該點受到擾動後,我們實際要處理的點是(x+δx,y+δy)處的資訊, 那麼然後前後函式值的變化δz=f(x+δx,y+δy)-f(x,y)就是全增量.這是一個直接的概念.
而所謂的全微分,則是對全增量一個較好的近似,按照處理問題的習慣,全微分是全增量的線性主要部分,也就意味著全微分是dz=aδx+bδy的形式,同時,作為主要部分,dz-δz必須是(δx^2+δy^2)^(1/2)高階無窮小. (你無法用δx或者δy來衡量,因此選擇上述形式).
拓展資料:
全微分是先對x求導,所得乘d(x),在對y求導,所得乘d(y),再把兩個先加就是全微分
全增量是這點的x增加△x,y增加△y.△z=f(x1+△x,y1+△y)-f(x1,y1).且對△z取極限等於0.
那麼△z就是函式z=f(x,y)在點(x1,y1)處的全增量.也就是x,y同時獲得增量.
全微分就是全增量的增量趨近0時的極限。
2.以二元函式z=f(x,y)為例,考慮一點(x,y),當該點受到擾動後,我們實際要處理的點是(x+δx,y+δy)處的資訊, 那麼然後前後函式值的變化δz=f(x+δx,y+δy)-f(x,y)就是全增量.
3.全微分,是對全增量一個較好的近似,按照處理問題的習慣,全微分是全增量的線性主要部分,也就意味著全微分是dz=aδx+bδy的形式,同時,作為主要部分,dz-δz必須是(δx^2+δy^2)^(1/2)高階無窮小. (你無法用δx或者δy來衡量,因此選擇上述形式).
微分在數學中的定義:由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。
微積分的基本概念之一。
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx)是比δx高階的無窮小(注:o讀作奧密克戎,希臘字母)那麼稱函式f(x)在點x是可微的,且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。
函式的微分是函式增量的主要部分,且是δx的線性函式,故說函式的微分是函式增量的線性主部(△x→0)。
定理1如果函式z=f(x,y)在點p0(x0,y0)處可微,則z=f(x,y)在p0(x0,y0)處連續,且各個偏導數存在,並且有f′x(x0,y0)=a,f′y(x0,y0)=b。
定理2若函式z=f(x,y)在點p0(x0,y0)處的偏導數f′x,f′y連續,則函式f在點p0處可微。定理3
3樓:匿名使用者
這兩個概念有聯絡也有區別.
以二元函式z=f(x,y)為例,考慮一點(x,y),當該點受到擾動後,我們實際要處理的點是(x+δx,y+δy)處的資訊, 那麼然後前後函式值的變化δz=f(x+δx,y+δy)-f(x,y)就是全增量.這是一個直接的概念.而所謂的全微分,則是對全增量一個較好的近似,按照處理問題的習慣,全微分是全增量的線性主要部分,也就意味著全微分是dz=aδx+bδy的形式,同時,作為主要部分,dz-δz必須是(δx^2+δy^2)^(1/2)高階無窮小.
(你無法用δx或者δy來衡量,因此選擇上述形式).
4樓:誓言
全增量:
設函式z=f(x,y)z=f(x,y)在點 p(x,y)p(x,y)的某鄰域內有定義,則有p2(x+δx,y+δy)p2(x+δx,y+δy)為鄰域內一點,p與p2p與p2的函式值之差稱為函式在點 pp 對應於自變數增量 δx、δyδx、δy 的全增量,記做 δzδz:
δz=f(x+δx,y+δy)−f(x,y)δz=f(x+δx,y+δy)−f(x,y)
全微分:
充分條件:
如果函式z=f(x,y)z=f(x,y)的偏導數∂z∂x、∂z∂y∂z∂x、∂z∂y在點(x,y)(x,y)連續,那麼該函式在該點可微分。
**(連續:多元函式的偏導數在一點連續是指:偏導數在該點的某個鄰域記憶體在,於是偏導數在這個鄰域內有定義,且這個函式求偏導後是連續的,則稱函式在某點連續)
必要條件:
如果函式z=f(x,y)z=f(x,y)在點x,yx,y可微分,那麼該函式在點(x,y)(x,y)的偏導數∂z∂x與∂z∂y∂z∂x與∂z∂y必定存在,且函式z=f(x,y)z=f(x,y)在點(x,y)(x,y)的全微分等於它的所有偏微分之和:
dz=∂z∂xδx+∂z∂yδy=∂z∂xdx+∂z∂ydy
全微分如果函式z=f(x, y) 在(x, y)處的 全增量 δz=f(x+δx,y+δy)-f(x,y) 可以表示為 δz=aδx+bδy+o(ρ), 其中a、b不依賴於δx, δy,僅與x,y有關,ρ趨近於0(ρ=√[(δx)2+(δy)2]),此時稱函式z=f(x, y)在點(x,y)處 可微分,aδx+bδy稱為函式z=f(x, y)在點(x, y)處的 全微分,記為dz即 dz=aδx +bδy 該表示式稱為函式z=f(x, y) 在(x, y)處(關於δx, δy)的全微分。
定義函式z=f(x, y) 的兩個偏導數f'x(x, y), f'y(x, y)分別與自變數的增量δx, δy乘積之和
f x(x,y)δx+f y(x,y)δy或f'x(x, y)δx + f'y(x, y)δy
若該表示式與函式的全增量δz之差,
是當ρ→0時的高階無窮小(那麼該表示式稱為函式z=f(x, y) 在(x, y)處(關於δx, δy)的全微分。
定理1如果函式z=f(x,y)在點p0(x0,y0)處可微,則z=f(x,y)在p0(x0,y0)處連續,且各個偏導數存在,並且有
f′x(x0,y0)=a,f′y(x0,y0)=b。
定理2若函式z=f(x,y)在點p0(x0,y0)處的偏導數f′x,f′y連續,則函式f在點p0處可微。
基本內容
設函式z=f(x,y)在點p(x,y)的某鄰域內有定義,p『(x+△x,y+△y)為這鄰域內的任意一點,則稱這兩點的函式值之差
f(x+△x,y+△y)- f(x,y)為函式在點p對應自變數△x,△y的全增量,記作△z。
5樓:匿名使用者
一、全微分的定義
我們知道,一元函式 在某點 有改變數 時,相應的函式改變數 可以表示成兩部分的和,即
其中微分 是 的線性主要部分, 是當 時比 高階的無窮小.
對於多元函式也有類似的定義,下面先介紹幾個概念.
1、幾個概念
設二元函式 在點 的某鄰域內有定義,當變數 , 分別有增量 , 時,由一元函式微分學中函式增量與微分的關係得
其中, , 分別稱為二元函式對 和對 的偏增量, , 分別稱為二元函式對 和對 的偏微分.
而把 稱為函式 在點 的全增量.
2、全微分的定義
定義1 如果二元函式 在點 的全增量
可以表示為 ,
其中 , 與 , 無關,只與 , 有關, , 是當 時比 的高階無窮小.則稱二元函式 在點 可微,並把 叫做函式 在點 的全微分,記作
.如果函式在某區域內各點處處可微,則稱函式在區域內可微.
我們知道,對一元函式來說,可微一定連續,其實,這個結論對二元函式來說一樣成立
二、可微的條件
定理1(可微的必要條件) 如果函式 在點 可微分,則函式在該點的偏導數 、 必存在,且函式 在點 的全微分為
.證明:因為函式 在點 可微,即
,其中 與 無關,而僅與 有關, .
特別地, 即
所以 即
同理令 ,得 .
所以 .
注意,一元函式 在點 可微和在點 可導是等價的,但在多元函式中這結論就不一定成立了,即偏導存在是可微的必要而不充分條件.
例如函式
在原點 的兩個偏導都存在,即
,同理可得
但是 ,而
現考查 是否為零.
特別地取 ,有
即 不是 的高階無窮小(當 時),所以由全微分的定義,該函式在原點不可微.
那麼在什麼條件下可保證函式 在點 可微呢?
我們給出如下定理
定理2(可微的充分條件)如果函式 在點 的兩個偏導數 、 存在而且連續,則函式在該點可微分.
證明:設點 是點 的某鄰域內的任意一點, , 足夠小.
則全增量
在 連續,就意味著偏導數在該點的某鄰域內一定存在,在第一個方括號內,由於 不變,把 看作 的一元函式,則這個關於 的一元函式在 的某鄰域內關於 的導數存在,由拉格朗日中值定理,
存在 ,使得
其中 介於 與 之間.
同理 存在 ,使得 ,
其中 介於 與 之間.
又由假設, , 在 連續,
所以 ,即有
其中 同理, ,即有
其中 所以
而 (當 時)
於是即函式在 可微.
注意:偏導數連續是函式可微的充分而不必要的條件,例如
在原點 可微,但 點卻是 , 的間斷點.驗證略.
通常,我們用 , 來表示 , ,則全微分可以寫成
即全微分等於它的兩個偏微分之和,我們稱二元函式的全微分符合疊加原理.
疊加原理可以推廣到三元及其以上的函式.如三元函式 的全微分為
二元函式的連續性、偏導數、全微分之間的關係可以用圖7-8表示
例1求 在點 處的全微分.
解:因為 , ,
所以 , ,
即得 .
例2求 的全微分.
解:因為 , ,
所以 .
例3設 ,求 .
解:因為 , ,
,所以 .
三、全微分在近似計算中的應用
設函式 在點 可微,則全增量
因此當 , 很小時, ,即 ,我們有如下近似公式
,或 .
例4一圓柱形的鐵罐,內半徑為 ,內高為 ,壁厚均為 ,估計製作這個鐵罐所需材料的體積大約為多少(包括上、下底)?
解:圓柱體的體積 ,按照題意,該鐵罐的體積為
此處 , 都比較小,所以可用全微分近似代替全增量,即
即有 .
故所需材料的體積大約為 .
全微分的定義,什麼是微分，什麼是全微分？
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通過全微分可以求出偏導數，例如 全微分dz f x,y,z dx g x,y,z dy，則 z對x的偏導數 f x,y,z z對y的偏導數 g x,y,z 偏導和全微分物理區別是什麼？1 物理 意義不同，偏導的物理意義是單一引數的變化，引起的物理量的變化率。全微分的物理意義是所有引數同時變化，所引起...
求函式的全微分,怎麼求全微分
問題不是很明確，不過也可以介紹一下基本方法總的來說可微的條件下全微分等於對x，y的偏導乘以相應的自變數的微分，如果這個隱函式是一個方程確定的，那麼有兩種方法求出其偏導數，一種就是直接公式法 還有一種就是採用方程的思想，兩邊同時對變數x和y分別求偏導，在解方程就可以了。如果這個隱函式是方程組確定的，那...