1樓：匿名使用者
1、行列式
1. 行列式共有 個元素，後有 項，可分解為 行列式；
2. 代數餘子式的性質：
①、 和 的大小無關；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數餘子式為0；
③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數餘子式為 ；
3. 代數餘子式和餘子式的關係：
4. 設 行列式 ：
將 上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為 ，則 ；
將 順時針或逆時針旋轉 ，所得行列式為 ，則 ；
將 主對角線翻轉後**置），所得行列式為 ，則 ；
將 主副角線翻轉後，所得行列式為 ，則 ；
5. 行列式的重要公式：
①、主對角行列式：主對角元素的乘積；
②、副對角行列式：副對角元素的乘積 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；
④、 和 ：副對角元素的乘積 ；
⑤、拉普拉斯式： 、
⑥、範德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；
⑦、特徵值；
6. 對於 階行列式 ，恆有： ，其中 為 階主子式；
7. 證明 的方法：
①、 ；
②、反證法；
③、構造齊次方程組 ，證明其有非零解；
④、利用秩，證明 ；
⑤、證明0是其特徵值；
2、矩陣
1. 是 階可逆矩陣：
（是非奇異矩陣）；
（是滿秩矩陣）
的行（列）向量組線性無關；
齊次方程組 有非零解；
， 總有唯一解；
與 等價；
可表示成若干個初等矩陣的乘積；
的特徵值全不為0；
是正定矩陣；
的行（列）向量組是 的一組基；
是 中某兩組基的過渡矩陣；
2. 對於 階矩陣 ： 無條件恆成立；
3.4. 矩陣是**，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和；
5. 關於分塊矩陣的重要結論，其中均 、 可逆：
若 ，則：
ⅰ、 ；
ⅱ、 ；
②、 ；（主對角分塊）
③、 ；（副對角分塊）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩陣的初等變換與線性方程組
1. 一個 矩陣 ，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的： ；
等價類：所有與 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；
對於同型矩陣 、 ，若 ；
2. 行最簡形矩陣：
①、只能通過初等行變換獲得；
②、每行首個非0元素必須為1；
③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；
3. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置後採用初等行變換）
①、 若 ，則 可逆，且 ；
②、對矩陣 做初等行變化，當 變為 時， 就變成 ，即： ；
③、求解線形方程組：對於 個未知數 個方程 ，如果 ，則 可逆，且 ；
4. 初等矩陣和對角矩陣的概念：
①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；
②、 ，左乘矩陣 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；
③、對調兩行或兩列，符號 ，且 ，例如： ；
④、倍乘某行或某列，符號 ，且 ，例如： ；
⑤、倍加某行或某列，符號 ,且 ，如： ；
5. 矩陣秩的基本性質：
①、 ；
②、 ；
③、若 ，則 ；
④、若 、 可逆，則 ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）
⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩陣， 是 矩陣，且 ，則：（※）
ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解**置運算後的結論）；
ⅱ、 ⑨、若 、 均為 階方陣，則 ；
6. 三種特殊矩陣的方冪：
①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量） 行矩陣（向量）的形式，再採用結合律；
②、型如 的矩陣：利用二項式；
二項式： ；
注：ⅰ、 後有 項；
ⅱ、 ⅲ、組合的性質： ；
③、利用特徵值和相似對角化：
7. 伴隨矩陣：
①、伴隨矩陣的秩： ；
②、伴隨矩陣的特徵值： ；
③、 、
8. 關於 矩陣秩的描述：
①、 ， 中有 階子式不為0， 階子式全部為0；（兩句話）
②、 ， 中有 階子式全部為0；
③、 ， 中有 階子式不為0；
9. 線性方程組： ，其中 為 矩陣，則：
①、 與方程的個數相同，即方程組 有 個方程；
②、 與方程組得未知數個數相同，方程組 為 元方程；
10. 線性方程組 的求解：
①、對增廣矩陣 進行初等行變換（只能使用初等行變換）；
②、齊次解為對應齊次方程組的解；
③、特解：自由變數賦初值後求得；
11. 由 個未知數 個方程的方程組構成 元線性方程：
①、 ；
②、 （向量方程， 為 矩陣， 個方程， 個未知數）
③、 （全部按列分塊，其中 ）；
④、 （線性表出）
⑤、有解的充要條件： （ 為未知數的個數或維數）
4、向量組的線性相關性
1. 個 維列向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ；
個 維行向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ；
含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；
2. ①、向量組的線性相關、無關 有、無非零解；（齊次線性方程組）
②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組）
③、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程）
3. 矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組 和 同解；( 例14)
4. ；( 例15)
5. 維向量線性相關的幾何意義：
①、 線性相關 ；
②、 線性相關 座標成比例或共線（平行）；
③、 線性相關 共面；
6. 線性相關與無關的兩套定理：
若 線性相關，則 必線性相關；
若 線性無關，則 必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）
若 維向量組 的每個向量上添上 個分量，構成 維向量組 ：
若 線性無關，則 也線性無關；反之若 線性相關，則 也線性相關；（向量組的維數加加減減）
簡言之：無關組延長後仍無關，反之，不確定；
7. 向量組 （個數為 ）能由向量組 （個數為 ）線性表示，且 線性無關，則 (二版 定理7)；
向量組 能由向量組 線性表示，則 ；（ 定理3）
向量組 能由向量組 線性表示
有解；（ 定理2）
向量組 能由向量組 等價 （ 定理2推論）
8. 方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ，使 ；
①、矩陣行等價： （左乘， 可逆） 與 同解
②、矩陣列等價： （右乘， 可逆）；
③、矩陣等價： （ 、 可逆）；
9. 對於矩陣 與 ：
①、若 與 行等價，則 與 的行秩相等；
②、若 與 行等價，則 與 同解，且 與 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性；
③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；
④、矩陣 的行秩等於列秩；
10. 若 ，則：
①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示， 為係數矩陣；
②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示， 為係數矩陣；**置）
11. 齊次方程組 的解一定是 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；
①、 只有零解 只有零解；
②、 有非零解 一定存在非零解；
12. 設向量組 可由向量組 線性表示為：（ 題19結論）
（ ）其中 為 ，且 線性無關，則 組線性無關 ；（ 與 的列向量組具有相同線性相關性）
（必要性： ；充分性：反證法）
注：當 時， 為方陣，可當作定理使用；
13. ①、對矩陣 ，存在 ， 、 的列向量線性無關；（ ）
②、對矩陣 ，存在 ， 、 的行向量線性無關；
14. 線性相關
存在一組不全為0的數 ，使得 成立；（定義）
有非零解，即 有非零解；
，係數矩陣的秩小於未知數的個數；
15. 設 的矩陣 的秩為 ，則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為： ；
16. 若 為 的一個解， 為 的一個基礎解系，則 線性無關；（ 題33結論）
5、相似矩陣和二次型
1. 正交矩陣 或 （定義），性質：
①、 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即 ；
②、若 為正交矩陣，則 也為正交陣，且 ；
③、若 、 正交陣，則 也是正交陣；
注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；
2. 施密特正交化： ；;
3. 對於普通方陣，不同特徵值對應的特徵向量線性無關；
對於實對稱陣，不同特徵值對應的特徵向量正交；
4. ①、 與 等價 經過初等變換得到 ；
， 、 可逆；
， 、 同型；
②、 與 合同 ，其中可逆；
與 有相同的正、負慣性指數；
③、 與 相似 ；
5. 相似一定合同、合同未必相似；
若 為正交矩陣，則 ，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）；
6. 為對稱陣，則 為二次型矩陣；
7. 元二次型 為正定：
的正慣性指數為 ；
與 合同，即存在可逆矩陣 ，使 ；
的所有特徵值均為正數；
的各階順序主子式均大於0；
；(必要條件)
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