1樓：招承後昭
一類曲線是對曲線的長度，二類是對x,y座標。怎麼理解呢？告訴你一根線的線密度，問你線的質量，就要用一類。
告訴你路徑曲線方程，告訴你x,y兩個方向的力，求功，就用二類。二類曲線也可以把x,y分開，這樣就不難理解一二類曲線積分之間的關係了，它們之間就差一個餘弦比例。一二類曲面積分也是一樣的。
一類是對面積的積分，二類是對座標的。告訴你面密度，求面質量，就用一類。告訴你x,y,z分別方向上的流速，告訴你面方程，求流量，就用第二類。
同理，x,y,z方向也是可以分開的，分開了也就不難理解一二類曲面積分的關係了。你要把以上兩點都能理解的話，再去看高斯公式與流量，斯托克斯公式與旋度，這兩個是線面體積分轉化的兩個公式，都理解了就沒問題了。學積分，重要的就是要理解：
積分就等於是求積（乘法的積）。積分就是乘法。因為變數在連續變化，我不能直接乘，所以有了微積分來微元了再乘。
一類線面積分就是函式和線面乘，二類線面積分就是函式和座標乘。
請教高人講解曲線積分和曲面積分（第一類第二類都要）
2樓：匿名使用者
哥們給你都說了吧：
第一類曲線積分，可以通過將ds轉化為dx或dt變成定積分來做，但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關係，只有通過轉化為第二類曲線積分後，要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件，可以用公式轉化為簡單的曲面積分，再將曲面積分投影到座標面上轉化為二重積分來計算，這是第一類曲線積分和二重積分關係，但是第一類曲線積分和三重積分麼有任何關係……
第一類曲面積分，可以通過公式變換，將ds轉化為dxdy，直接轉化為二重積分來做，但是和三重積分沒有任何關係，只有通過轉化為第二類曲面積分，滿足了高斯公式條件，才能用高斯公式轉化為三重積分來計算
曲線積分與定積分，曲面積分與二重積分的區別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式，意思是在曲線上或曲面上進行積分的，而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz座標上進行積分，所以要將第一類曲線積分，第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz座標進行積分，另外既然給定了曲線或曲面方程，就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關係，因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的，所以要滿足給定的曲線或曲面的方程，所以各個量之間可以代換的，這個普通的定積分和二重積分不能這麼做的……
第一類曲線積分：對線段的曲線積分，有積分順序，下限永遠小於上限……求解時米有第二類曲線積分簡單，需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式，進行積分，這個公式書裡面有的，就是對引數求導，然後再表示成平分和的根式……
第二類曲線積分：對座標的曲線積分，沒有積分順序，意思是積分上下限可以顛倒了……
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關係：可以用餘弦進行代換，餘弦值指的是線段的切向量，這個書本里面的，我就不寫了
第一類曲面積分：對面積的曲面積分，求解時要通過給定的曲面方程形式，轉化成x與y的形式，這個公式書裡面也有的，就是求偏導吧？然後表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分：對座標的曲線積分，這個簡單一些，好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯絡：可以用餘弦代換，但是這個餘弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯絡，方便你記憶：都是要轉化成在xyz座標面上的積分，都是平方和的根式形式，但是第一類曲線積分是對引數求導，第一類曲面積分是求偏導，為何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直線代替曲線，相當於正方體求對角線，你想想是不是，肯定要出現平方和的根式，你好好看看推導過程……
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關係：
第二類曲線積分如果封閉的話，可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話，可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的，你要學會對應的記憶啊……
格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉化為二重積分來做，但是要注意正方向的選取，以及平面單連通和平面復連通，有時需要取輔助線構成封閉曲線的，但是要計算輔助曲線的曲線積分，因為此時的格林公式值是由兩條曲線疊加後產生的，這個很重要，因為積分與路徑無關都要涉及到平面復連通和單連通的計算……
重積分，曲線積分，曲面積分分別有什麼不同
3樓：123456奮鬥
定積分、二重積分、三重積分以及曲線、曲面積分統稱為黎曼積分，是高等數學研究的重點內容，定積分、二重積分、三重積分以及曲線、曲面積分它們的定義都是經過分割、近似、求和、去極限四步最後歸結為一個特定結構和式的極限值，定義可以用統一形式給出：
從以上各種積分的概念形式和計算方法來看，定積分的積分割槽域是線性的、二重積分的積分割槽域是面狀的、三重積分的積分割槽域是體狀的，以上三種積分概念、性質和計算方法類似;而曲線、曲面積分由於在近似過程中取點時，所取的點是積分曲線或積分曲面上的點，它滿足曲線或曲面方程，所以在計算曲線、曲面積分時可以採用代入轉化為定積分或二重積分的方法來計算。
4樓：匿名使用者
曲線積分 求面積
二重積分求 體積
三重積分可用來 求質量
曲面積分分兩類 ：第一類曲面積分（對面積的曲面積分）幾何含義,知道某曲面每點的面密度,求質量.具體例子：蛋殼的質量.
第二類曲面積分（對座標的曲面積分）
幾何含義,知道某曲面每點的流速,求單位時間內的流量.具體例子：蛋殼的破了,一秒鐘內蛋殼中流出多少蛋液.
5樓：匿名使用者
重積分包括二重積分和三重積分
曲線積分和曲面積分的幾何意義是什麼，和二重積分三重積分有什麼區別。如果∫後的式子為1，分別表示面積
6樓：匿名使用者
二重積分，可以看做一個高函式f(x,y)，在底面∑上的積分，所以他表示的是底面為∑的幾何體的體積。。
三重積分,可以看做一個密度函式f(x,y)，在幾何體v上的積分，所以他表示的是幾何體v的質量。。
第一類曲線積分，可以看做一個密度函式f，對曲線長度s的積分，所以他表示的是曲線s的質量。
第二類曲線積分，可以看做一個變力f，對曲線切向的積分，所以他表示的是變力f沿曲線做的功。
第一類曲面積分，可以看做一個密度函式f，對曲面面積s的積分，所以他表示的是曲面s的質量。
第二類曲面積分，可以看做一個磁場強度f，對曲面法向的積分，所以他表示的是的磁通量。物理上形象的說，就是通過某個曲面的磁感線條數。。。
重積分和曲線積分和曲面積分是什麼
7樓：123456奮鬥
定積分、二重積分、三重積分以及曲線、曲面積分統稱為黎曼積分，是高等數學研究的重點內容，定積分、二重積分、三重積分以及曲線、曲面積分它們的定義都是經過分割、近似、求和、去極限四步最後歸結為一個特定結構和式的極限值，定義可以用統一形式給出：
從以上各種積分的概念形式和計算方法來看，定積分的積分割槽域是線性的、二重積分的積分割槽域是面狀的、三重積分的積分割槽域是體狀的，以上三種積分概念、性質和計算方法類似;而曲線、曲面積分由於在近似過程中取點時，所取的點是積分曲線或積分曲面上的點，它滿足曲線或曲面方程，所以在計算曲線、曲面積分時可以採用代入轉化為定積分或二重積分的方法來計算。
8樓：_古巴比倫王
加我口口吧：1194567058
把這些弄懂確實很有必要，我把我知道的告訴你。
二重積分是求體積的
三重積分是求立體的質量的
第一類曲線積分是求弧線質量的
第二類曲線積分是求功的
第一類曲面積分是求面質量的
第二類曲面積分是求面的流量的
至於關係，重積分是總稱，曲面積分和曲線積分可以說都是重積分的是應用，確切的說是
二、三重積分的應用，而曲線積分、曲面積分是並列的，它們各自的領域都屬於重積分
在物理上估計它們還會有別應用，這些只是一些方面，希望對你有所幫住 哥們兒把這問題關了吧
曲線積分與曲面積分問題？
9樓：hb123天枰
這道題你題目沒給錯的話是可以直接用高斯公式的呀，不需要補平面啊，它給的就是閉曲面的外側啊，所以積分值直接就是稜錐的體積的二倍。
10樓：
那兩個半圓平面要算啊，
【s是x=0,y=0以及x^2+y^2+z^2=a^2(x>=0,y>=0)所圍成的閉曲面】
【閉曲面啊，要連起來，封閉啊。】
在曲面x^2+y^2+z^2=a^2(x>=0,y>=0)上，ds = a*db*a*dc. b:0->π/2, c:-π/2->π/2.
∫∫（x^2+y^2+z^2)ds = ∫(0->π/2)db∫(-π/2->π/2)a^2 *a^2*dc
= a^4*(π/2)*π = a^4π^2/2
在x=0[（a^2-z^2)^(1/2) >= y>=0]上,ds = dydz, z:-|a|->|a|. y:0->（a^2-z^2)^(1/2).
∫∫（x^2+y^2+z^2)ds = ∫(-|a|->|a|)dz∫(0->（a^2-z^2)^(1/2))(y^2+z^2)dy
= 2∫(0->|a|)dz
z = |a|sint, dz = |a|costdt,t:0->π/2.
∫∫（x^2+y^2+z^2)ds = 2∫(0->|a|)dz
= 2∫(0->π/2)|a|costdt
= 2a^4∫(0->π/2)dt
= 2a^4∫(0->π/2)dt
∫(0->π/2)（cost)^4dt = (1/4)∫(0->π/2)[cos(2t) + 1]^2dt = (1/4)∫(0->π/2)dt = (1/4)∫(0->π/2)dt = (1/4)∫(0->π/2)dt = (1/4) = 3π/16.
∫(0->π/2)(cost)^2dt = (1/2)∫(0->π/2)[cos(2t)+1]dt = (1/2)(π/2) = π/4.
∫∫（x^2+y^2+z^2)ds = 2a^4∫(0->π/2)dt
= 2a^4 = a^4π/8
由對稱性，
在y=0[（a^2-z^2)^(1/2) >= x>=0]上,
∫∫（x^2+y^2+z^2)ds = a^4π/8.
在整個封閉曲面上，
∫∫（x^2+y^2+z^2)ds = a^4π^2/2 + a^4π/8 + a^4π/8 = a^4π^2/2 + a^4π/4
【哦，和答案也不一樣啊。哈，奇怪~~~】
2，還要算上z=1那個面上的積分。那個1/2π就是這個積分的結果吧。
3，柱面座標, x = rcost, y = rsint, z:0->2arcost-r^2, t:-π/2->π/2. r:a->2a
曲線積分與曲面積分對弧長的曲線積分
這些是兩類問題,其幾何意義分別是求曲線的長度和求曲面的面積.不同點是一個是廣義積分,一個是定積分.說白一點,對弧長就積分是廣義積分,求出來的是一個積分公式,而在座標系中求出來的積分一般情況下是一個積分值.對弧長的曲線積分與對座標的曲線積分的區別和聯絡。說簡單點 對弧長的 積分只是對 弧長的大小積分 ...
求大神通俗解釋第一二類曲線積分和曲面積分的區別 是一二類的區
積分有兩大要素 範圍e68a8462616964757a686964616f31333363373231和乘積。都是函式 包括向量函式 與微元素的乘積，在某個範圍內之和。從這個角度去看各種積分就很清楚了。第一類線積分實質上就是定積分在路徑 範圍 方面的推廣，被積函式與微元素之間依然是標量乘積，只是把...
高數下冊開學要補考,曲線和曲面積分不太懂怎麼辦啊
看懂書，做懂題。具體的要先能區分清楚第一類 第二類曲線和曲面積分，搞清楚每一類積分的計算方法，搞清楚不同類積分解法區別。特別是第二類曲線和第二類曲面積分的解法，它們的計算結果和曲線的方向 曲面的側有關，另外有時它們也可以分別通過green公式和gauss公式來計算。基本上把例題都做懂，每一類的習題能...