1樓:援手
這個問的好,想明白這個問題很幫助理解的。積分這種運算涉及兩個要素,即被內積函式和積分割槽容域。按照積分割槽域的不同(形狀,維數等)給積分分類,就是那些東西。
積分割槽域為一維直線的是定積分,為二維平面的是二重積分,為三維立體的是三重積分,為空間直線的是曲線積分,為空間曲面的曲面積分。並且這些積分之間存在明顯的聯絡,例如聯絡曲線積分和二重積分的是格林公式,聯絡曲面積分和三重積分的高斯公式,聯絡曲線積分和曲面積分的是斯托克斯公式。
定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分之間有什麼內在的關係?請高手指點迷津
2樓:匿名使用者
曲線積分分為空間曲線積分和平面曲線積分,它的積分是沿曲線內進行的,因為計算容時可以將積分曲線的表示式代入被積式。平面曲線積分用格林公式溝通了與二重積分的聯絡,而二重積分卻是在整個積分面進行的,不能將積分表示式代入被積式。曲面積分用斯托克斯公式溝通了與三重積分的聯絡,前者是在曲面上進行的積分,而後者則是在實體中進行的積分,因此前者可以將積分的曲面方程(表示式)直接代入被積式中計算(當然有時候是需要變形的),後者則不行。
它們計算到最後都需要用到定積分。
在高等數學中,定積分,二重積分、三重積分、曲線積分(一類和二類,其中第一類可以用對稱性解答)、曲面積分(一類和二類,其中第一類可以用對稱性,第二類可以使用輪換對稱性),它們互有聯絡,難度較大,而且對稱性廣泛使用,只有花精力去深刻理解才能靈活解答,觸類旁通。
格林公式給出的是第二類曲線積分和二重積分的關係嗎
3樓:南瓜蘋果
格林公式描述了二重積分和第二類曲線積分之間的一種關係。
在區域中一個重要的概念是閉區域。在一維空間中,[-1,2]就是一個閉區域,即閉區域包含區間的兩端邊界點和內部。在二維空間內,閉區域則由一段閉合曲線和曲線所圍成的內部區域組成。
平面區域與閉區域的區別是:平面區域不一定包含區域的邊界,但是閉區域一定包含區域的邊界。平面區域d又分為單連通域和復連通域。
如果平面區域d內任意一條閉合曲線所圍成的區域只包含d內的點,則該平面區域為單連通域,否則為復連通域。
擴充套件資料
以二維空間為例進行說明。當沿著平面區域的邊界線走時,若平面區域在左邊,則此方向為正向的邊界曲線。
如果格林公式等式右邊等於0,則格林公式與物理上的勢場之間存在著緊密聯絡。
物體在勢場中,場力對物體做的功與物體移動路徑無關,只與物體起點和終點的空間位置有關。
第二類曲線積分在一定程度上可以用變力做功來解釋,與現實中的勢場對應,曲線積分也應存在類似規律,即曲線積分與路徑無關。
4樓:匿名使用者
哥們給你都說了吧:
第一類曲線積分,可以通過將ds轉化為dx或dt變成定積分來做,但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關係,只有通過轉化為第二類曲線積分後,要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件,可以用公式轉化為簡單的曲面積分,再將曲面積分投影到座標面上轉化為二重積分來計算,這是第一類曲線積分和二重積分關係,但是第一類曲線積分和三重積分麼有任何關係......
第一類曲面積分,可以通過公式變換,將ds轉化為dxdy,直接轉化為二重積分來做,但是和三重積分沒有任何關係,只有通過轉化為第二類曲面積分,滿足了高斯公式條件,才能用高斯公式轉化為三重積分來計算
曲線積分與定積分,曲面積分與二重積分的區別:曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式,意思是在曲線上或曲面上進行積分的,而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz座標上進行積分,所以要將第一類曲線積分,第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz座標進行積分,另外既然給定了曲線或曲面方程,就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關係,因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的,所以要滿足給定的曲線或曲面的方程,所以各個量之間可以代換的,這個普通的定積分和二重積分不能這麼做的......
第一類曲線積分:對線段的曲線積分,有積分順序,下限永遠小於上限......求解時米有第二類曲線積分簡單,需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式,進行積分,這個公式書裡面有的,就是對引數求導,然後再表示成平分和的根式......
第二類曲線積分:對座標的曲線積分,沒有積分順序,意思是積分上下限可以顛倒了......
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關係:可以用餘弦進行代換,餘弦值指的是線段的切向量,這個書本里面的,我就不寫了
第一類曲面積分:對面積的曲面積分,求解時要通過給定的曲面方程形式,轉化成x與y的形式,這個公式書裡面也有的,就是求偏導吧?然後表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分:對座標的曲線積分,這個簡單一些,好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯絡:可以用餘弦代換,但是這個餘弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯絡,方便你記憶:都是要轉化成在xyz座標面上的積分,都是平方和的根式形式,但是第一類曲線積分是對引數求導,第一類曲面積分是求偏導,為何都是平方和的根式形式?原因是在微段或微面上用直線代替曲線,相當於正方體求對角線,你想想是不是,肯定要出現平方和的根式,好看看推導過程......
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關係:
第二類曲線積分如果封閉的話,可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話,可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的,你要學會對應的記憶啊......
格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉化為二重積分來做,但是要注意正方向的選取,以及平面單連通和平面復連通,有時需要取輔助線構成封閉曲線的,但是要計算輔助曲線的曲線積分,因為此時的格林公式值是由兩條曲線疊加後產生的,這個很重要,因為積分與路徑無關都要涉及到平面復連通和單連通的計算......
高數問題,格林公式及極座標計算二重積分
5樓:匿名使用者
^r^5是這樣得來的:
3∫∫(x^2+y^2)^2dxdy
=3∫專
<0,2π>dθ∫<0,a>(r^2)^2*rdr (作極座標變屬換,x^2+y^2=r^2,dxdy=rdθdr)
=3∫<0,2π>dθ∫<0,a>r^5dr。
高數。二重積分,請問第一個線上是個什麼公式?格林公式?怎麼等於下面的?它是怎麼變換的?
6樓:匿名使用者
第一個式子是由第二類曲線積分和第一類曲線積分的轉換關係得到的:
第二個式子確實是第一個式子使用格林公式得到的:
高數如何理解格林公式的概念
7樓:匿名使用者
曲線積分條件:分段光滑。
光滑:有切線
請參考兩類曲線積分的計算過程,思考為什麼是光滑,而不是可導。
分段:(有限多段)
請比教一元積分(含廣義積分)條件:有限個間斷點,且分段可積,請思考為什麼是有限個。
公式可用在復連通!
用法:只要注意積分邊界方向,外逆時針,內順時針。
這兩個小問題太低階了,可見你基本功夫不紮實。
光這些完全無法理解公式本質。
格林公式和stoks意義相同
一首先來看大的共性
等價於1:定積分基本公式:ab區間內積分=原函式在邊界b與a處的差
2:格林公式:在xoy面上小區域的二重積分=該區域邊界線上的積分。
stoks公式:一小快空間曲面上積分=等於該曲面邊界線上的積分
格林公式:stoks公式的特例
3 奧--高公式:空間區域上積分=等於該區域邊界曲面上的積分
二 這三組公式表現出2個共同特點,1個典型不同點!
相同點:
1 積分重數下降一重
2 內部計算轉化為邊界計算
不同點:書寫格式和運用。
書寫:定積分公式:區間轉化為邊界
格林公式,stoks公式,奧高公式:邊界轉化為區域
運用:和書寫計算方向相同。
不同點的原因:
定積分求原函式容易
其他公式積分的相當於求這些旋度和散度的原函式,很難計算;
把邊界積分化成區域積分容易,然後統一用重積分方法處理。
旋度和散度:(通過物理實踐理解公式)
想象區域內每點(或者每點的微小區域附近)
旋度不為零:有旋渦(在任意某點微小區域內,迴圈流動的物質,逆時針為正,順時針為負
散度不為零:有源場(在任意某點微小區域,流進和流出的東西不相等,散度為正表示流出,散度為負表示流進)
1格林公式與stoks公式:
關鍵:理解旋度與環量(看課本上stoks公式)
結論1:(公式直接含義)
面上旋度總和等於這個邊界上的環量
結論2:(無旋場就是保守力場)
旋度為零(無旋場)--積分與路徑無關,只與位置有關。
保守力場做功只與位置有關係。比如地球引力場,靜電場。他們的引力線不成旋渦狀---不能對物體進行迴旋加速(環量總是為0,)
下邊順便解釋一下奧---高公式
空間區域上積分=等與邊介面上積分
可以理解為:
(用流體來解釋)
(假設空間已經充斥了這樣的不可壓縮流體)
封閉空間任意點自動生成的流體量的總和
總是等於流出這個空間表面的流體量
每一點生成流體叫散度=空間流量函式(p,q,r)的散度
。四 奧--高公式 有沒有二緯形式這個形式與格林公式有沒有關係。
例如:1(p,q)是平面流量,求流出區域邊界的流量等於多少?(用奧高公式)
比較 2(-q,p)是平面流量,求邊界圍線積分(用格林公式)
你會吃驚的發現兩公式完全一樣
從上邊兩個力場處處正交
也許我們能分析出場。在兩個垂直方向上力場的不同效果。比如**的橫向地球面切面方向作用,與垂直地面作用是不同的。
好了估計你可以自己思考明白了。
大學所有積分合起來都沒有分家是一個結構精妙的統一體系
8樓:匿名使用者
曲線分段光滑是指曲線參數列示連續可微且導數為零的點僅有限個對於復連通區域一樣成立
計算可以遵循這樣一個原則,被積微分形式在區域邊界上的積分等於求導後的微分形式在區域內無限積分
注意是先求無限積分在算積分
否則你會被扣分的
高數二重積分，高數二重積分題目
這是我的理解 二重積分和二次積分的區別 二重積分是有關面積的積分，二次積分是兩次單變數積分。當f x,y 在有界閉區域內連續，那麼二重積分和二次積分相等。對開區域或無界區域這關係不衡成立。可二次積分不一定能二重積分。如對 0,1 0,1 區域，對任意x 0,1 可定義一個對y連續的函式g x,y y...
二重積分求極限問題，高數二重積分求極限問題的過程
分子積分變數 與t無關，則直接可以積分。2 0,t rf r dr 因為屬於0 0型，使用羅比塔法則上下求導，lim 2 tf t 3 t 2 t 0 lim 2 f t dr 3t t 0繼續羅比塔法則 lim 2 f t 3 t 0 3 2f 0 高數二重積分求極限問題的過程 利用積分中值定理，...
累次積分化二重積分考研數學，二重積分 考研數學 累次積分不知道怎麼變
在多元函式積分中的二重積分在考試大綱中數學一，數學二，數學三共同考試的內容，考試對這部分的要求是很簡單的，只要會計算二重積分就可以了。下面就具體的說一下二重積分的計算方法。二重積分計算的主要方法是化為累次積分進行計算，那麼把二重積分化為累次積分有兩個思路，一是使用直角座標，二是使用極座標。二重積分是...