1樓：匿名使用者
一般是向外的。但沒有嚴格規定非得向外不行。
所謂曲面上某一點的法線，是指過該點且垂直於曲面的直線，而垂線有兩個方向：向內或向外(平面除外)；究竟是向內？還是向外？
要由求出的偏導數決定。當然也可根據需要作人為的改變。比如一個球面f(x，y，z)=x²+y²+z²-1=0在點(1/2，1/2，0)的法
向向量n=就是指向球外的；在點(-1/2，-1/2，0)處的法向向量n=也是指向球外的。
設立面座標系內有一曲面f(x,y,z)=0,則其法向量▽f（不想把那幾個偏導符號打出來）的方向，是內還是外？
2樓：匿名使用者
這個法向量是可內可外的，具體情況取決於曲面方程
比如f(x,y,z)=x²+y²+z²-1，則曲面f(x,y,z)=0是個單位球面
球面上任一點(x,y,z)的法向量▽f=(2x,2y,2z)是個外法向量
但如果取f(x,y,z)=-x²-y²-z²+1，那曲面f(x,y,z)=0也是單位球面
此時球面上任一點(x,y,z)的法向量▽f=(-2x,-2y,-2z)便是個內法向量
數分課本例題的疑惑：證明:曲面f((x-a)/(z-c),(y-b)/(z-c))=0的任一切平面都過某個定點
3樓：窩心的晴子
與前兩個一樣，同為複合函式求導:先是對最外層的f對第一個變數(x-a)/(z-c)求導，再乘於該變數(x-a)/(z-c)對z求導(除法的求導法則或者是1/x的求導公式)，由於兩個變數中皆含z,所以有兩項。
4樓：你誰
敢問是不是打錯了，應該是f（(x-a)/(z-c),(y-b)/(z-c)）=0吧
設曲面任意一點(x1,y1,z1)
fx=f1/(z-c)
fy=f2/(z-c)
fz=[(a-x)/(z-c)^2]f1+[(b-y)/(z-c)^2]f2
在該點處的切平面方程為[f1/(z1-c)](x-x1)+[f2/(z1-c)](y-y1)+[(a-x1)/(z-c)^2]f1+[(b-y1)/(z-c)^2]f2(z-z1)=0，
合併同類項得到：
［x-x1+(z-z1)*(a-x1)/(z1-c)]f1/(z1-c)+［y-y1+(z-z1)*(b-y1)/(z1-c)]f2/(z1-c)=0
因為過定點，故令x-x1+(z-z1)*(a-x1)/(z1-c)=0,y-y1+(z-z1)*(b-y1)/(z1-c)=0
很容易得到x=a,y=b,z=c滿足．
沒有什麼太好的辦法，請參考．f(u,v)表示的是一種函式關係，f（(x-a)/(z-c),(y-b)/(z-c)），確實是三元變數，你可以理解為這f(x,y,z)=0上任意一點的切平面通過一定點，建議你多做一些類似題，可以加深理解的，不過想短期內搞明白，可能不行。我只能幫到這了，給個納吧
為什麼曲面的偏導數是曲面的法向量
5樓：demon陌
首先從簡單開始,如果是平面f(x,y)=0
一般形式是ax+by+c=0
法向量是(a，b)，因為任意一點(x0，y0)在平面上，a*x0+b*y0+c=0
那麼a*(x-x0)+b*(y-y0)=0，即向量(a，b)*(x-x0，y-y0)=0
對於一般曲面 f(x，y，z，……)=0
兩邊微分(偏導用大寫d)，有df=df/dx*dx + df/dy*dy + df/dz*dz + ……= d0 = 0
那麼向量(df/dx，df/dy，df/dz，……) * (dx，dy，dz，……)=0
其中向量(dx，dy，dz，……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小變化量)
所以向量(df/dx，df/dy，df/dz，……) 是曲面的法向量
6樓：
在曲面上任一點m取一條曲線，對曲面求偏導即對這條曲線求切向量，再在m點取另一條曲線，同樣求出切向量，這些切向量必在同一平面內，即切平面，而切平面必存在一個法向量，這個法向量必與切向量垂直，同時也是曲面方程求偏導的結果。
梯度向量是法向量嗎
7樓：匿名使用者
是。用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法線。
如果s是曲線座標x(s,t)表示的曲面，其中s及t是實數變數，那麼用偏導數叉積表示的法線為
如果曲面s用隱函式表示，點集合(x,y,z)滿足 f(x,y,z)=0，那麼在點(x,y,z)處的曲面法線用梯度表示為
根據平面法向量的定義求出平面的法向量，進而可以利用平面的法向量解決各類空間角的計算問題.求平面法向量的方法如下：
在給定的空間直角座標系中，設平面α的法向量為n=(x,y,1)（或(x,1,z)，或(1,y,z)；總有一個座標不為零，設其為1即可），在平面α內任找兩個不共線的向量a,b.由n⊥α，得n?a=0且n?
b=0，由此可得一個關於x,y的二元一次方程組，解此方程組即可得n.有時，還要求出平面α的單位法向量n0，即n0=n|n|.
8樓：匿名使用者
這個說法有問題，如果你
畫出函式f(x,y,z)=0的曲線，那一般來說，那通過對f(x,y,z)求偏導得到梯度向量（x，y，z）是它的法向量。
泛泛地說法向量是不恰當的。
「比如說『爬山』，梯度向量是山坡最陡峭的方向的向量」
這只是一個比喻，實際上，在現實當中，管最陡峭的方向的向量叫測地向量可能更恰當。
歡迎hi裡交流。
對補充的回答：如果畫出曲面f(x,y,z)=0，就像一個山坡，那麼在某一點的梯度向量到底是垂直於曲面的法向量。
山坡這個比喻實際上是這樣：它把x,y看成自變數，z看作函式值。所以你提的實際上是兩個問題，而且我覺得你有點搞混了。
最後明確一下：f(x,y,z)=0裡面的曲面，相當於「爬山」這個問題裡面的等高線。
還有疑問的話，繼續討論。
9樓：匿名使用者
^設f(x,y,z)是光滑函式，f(x,y,z)=0定義了r^3中的一個曲面。設
r(t) = (x(t), y(t), z(t))是曲面上的一條曲線，則
f(r(t))=0
對t求導，根據鏈式法則，得到 fx*x'+fy*y'+fz*z' = 0
令grad(f) = (fx, fy, fz)，v = (x', y', z')
則上式就是 < grad(f), v > = 0，也就是說，grad(f)和v垂直。
現在你明白了嗎？v就是曲面上任意曲線r(t)的切向量，而grad(f)和v
垂直，grad(f)只能是曲面的法向量。
10樓：匿名使用者
和你有同樣的疑問！
哪個高手也順便把這個題答答唄！
法向量的計算方法
11樓：門下走狗金牛
平面法向量的具體步驟：（待定係數法）
1、建立恰當的直角座標系
2、設平面法向量n=（x，y，z）
3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）
4、根據法向量的定義建立方程組：
①n·a=0；
②n·b=0。
5、解方程組，取其中一組解即可。
如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。
例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。
12樓：demon陌
對於像三角形這樣的多邊形來說，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。
用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法線。
如果s是曲線座標x(s,t)表示的曲面，其中s及t是實數變數，那麼用偏導數叉積表示的法線為：
如果曲面s用隱函式表示，點集合(x,y,z)滿足 f(x,y,z)=0，那麼在點(x,y,z)處的曲面法線用梯度表示為：
如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。
13樓：手機使用者
從理論上說，空間零向量是任何平面的法向量，但是由於零向量不能表示平面的資訊。一般不選擇零向量為平面的法向量。
如果已知直線與平面垂直，可以取已知直線的兩點構成的向量作為法向量；如果不存在這樣的直線，可用設元法求一個平面的法向量；步驟如下：首先設平面的法向量m(x,y,z)，然後尋找平面內任意兩個不平行的向量ab(x1,y1,z1)和cd(x2,y2,z2)。由於平面法向量垂直於平面內所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。
由於上面解法存在三個未知數兩個方程(不能通過增加新的向量和方程求解，因為其它方程和上述兩個方程是等價的)，無法得到唯一的法向量(因為法向量不是唯一的)。為了得到確定法向量，可採用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等於1的方法(單位法向量)，但是這步並不是必須的。因為確定法向量和不確定法向量的作用是一樣的。
平面法向量的具體步驟：（待定係數法）
1、建立恰當的直角座標系
2、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1,a2, a3） b=（b1,b2,b3）
3、計算a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=n，則因為叉乘（也叫向量積）的結果n垂直於a和b所在平面，因此n是平面的法向量。
注意：高中數學中會採用設n=(x,y,z)並解方程的方法，雖然比較容易理解但需要解方程。運用向量積的方法雖然難以記憶但計算方便，可以說二者各有千秋。
關於法向量微分幾何的計算方式，這涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式為：
1).隱函式：f(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0;
2).（引數化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.
因為曲面的維度為2，所以一般是兩個引數u,v。比如：x+y+z=0 可表示為：
r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.
對應的，計演算法向量的方式分別為：
1). grad(f). 即隱函式f(x,y,z)的梯度grad(f) 即為曲面在點(x,y,z)處的法向量，也即，法向量為f(x,y,z)=c變化率最大的方向。
2).偏導的叉乘給出法向量
14樓：
法向量是有無數個，但每個法向量都垂直於平面，且互相平行；如果限定為從原點出發的單位法向量，那就只剩一個了。
題中**上直線l的向量(5,2,10)，平面π的一個法向量：(4,0,-2)，因兩向量不成比例，故直線不予平面垂直，但兩向量的點乘積等於0，說明兩向量垂直，即直線l平行於平面π；
在直角座標系平面內，點O為座標原點，二次函式y x2 （k
題目是不是這樣 在直角座標系平面內,點o為座標原點，二次函式y x2 k 5 x k 4 的影象交x軸於點a x1，0 b x2，0 且 x1 1 x2 1 8。1 求二次函式的解析式 2 將上述二次函式影象沿x軸向右平移兩個單位，設平移後的影象與y軸的交點為c，頂點為p,求三角形poc的面積 如果...
三維座標系中如何確定座標，空間座標系怎麼看？
確定座標之前，需要建立三維座標系，常用直角座標系 x,y,z 也可以使用球極座標系，類似地球經緯度高程那樣的。目前普遍用來確定座標的有三種 1 三維笛卡爾座標，三維笛卡爾座標 x，y，z 與二維笛卡爾座標 x，y 相似，即在x和y值基礎上增加z值。同樣還可以使用基於當前座標系原點的絕對座標值或基於上...
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