1樓：匿名使用者
證明：∵a^2+b^2 -2ab =(a-b)^2≥ 0 ∴a^2+b^2 ≥ 2ab （當且僅當a=b時等號成立）
當a、b都是正實數時，(a+b)/2 ≥√(ab)證明過程是這樣：
∵a+b=(√a)^2+(√b)^2≥2(√a)(√b)=2√(ab)
∴(a+b)/2 ≥√(ab)
高中數學求解，均值不等式是如何推導的？
2樓：匿名使用者
∵ (a-b)²=a²-2ab+b²≧0；∴a²+b²≧2ab; 當且僅僅當a=b時等號成立；(a，b∈r）
∵(√m-√n)²=m-2√(mn)+n≧0；∴m+n≧2√(mn); 當且僅僅當m=n時等號成立；(m，n∈r+);
下面回答你新加的追問：
m＝a²，那麼√m＝√a²，有兩個結果①√m＝a②√m＝-a，這樣子就推不出來了啊，有可能就推成m＋n≥-2√mn，就錯了啊
回答：∵m=a²；∴√m=√a²=∣a∣；當a≧0時，√m=a；當a<0時,√m=-a；
這時，m+n≧2√(mn)=2a(√n),(a≧0)或≧-2a(√n),(a<0）;
不能寫成m＋n≥-2√mn，因為無此情況。
3樓：惜君者
看來你對均值不等式有一點誤解啊
①a²+b²≥2ab;
②若m>0，n>0，則m+n≥2√(mn).
注意條件【m>0，n>0】啊
4樓：我de娘子
即使出現你所說的√m＝-a，即m＋n≥-2√mn，考慮n是非負。因為不等式左邊是非負，右邊是非正，非負≥非正。
5樓：匿名使用者
這裡面有條件m、n均大於0，
m＋n≥2√mn，當然肯定大於-2√mn
如果m、n均小於0，則有
m＋n≤-2√mn
6樓：匿名使用者
∵(a-b)²≥0
∴a²-2ab+b²≥0
∴a²+b²≥2ab。
同理由(√m-√n)²≥0
得(√m)²-2√m√n+(√n)²≥o
∴m+n≥2√m√n
∴(m+n)/2≥√m√n。(m∈r+，n∈r+)。
希望對你有幫助。
7樓：匿名使用者
條件裡說了m和n是正實數
8樓：匿名使用者
題目都說了m，n是正函式，你怎麼得出-a的，應該是|a|，對了嗎
9樓：匿名使用者
m=a^2,b=n^2,m,n>=0.
m＋n≥-2√(mn)也對。
10樓：體育wo最愛
m∈r+，那麼m的算術平方根怎麼會是負數呢？！
11樓：簡化討論
m=a的平方，要求m是正實數.
12樓：飛天蘿波
要m,n>0 ，必然√m>0
均值不等式的證明過程
13樓：晴天雨絲絲
方法不少於100種!
以下證明最簡單的二元算術幾何均值不等式:
a、b∈r，證明a²+b²≥2ab.
證明:(a-b)²≥0
→a²-2ab+b²≥0，
∴a²+b²≥2ab。
什麼是均值不等式.?不等式的證明方法有哪些.?
14樓：匿名使用者
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：
①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：
根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈r+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：
①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。
應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關係為：
ab1 b2 b3… bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明ab的邏輯關係為：
bb1b1 b3 … bna，書寫的模式是：為了證明命題b成立，只需證明命題b1為真，從而有…，這隻需證明b2為真，從而又有…，……這隻需證明a為真，而已知a為真，故b必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式a>b，先假設a≤b，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定a>b。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明瞭的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。
(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數列示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：
①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tana+tanb+tanc=tanatan-btanc知，可設x=taaa，y=tanb，z=tanc，其中a+b+c=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。
如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式a (1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。 1、比較法（作差法） 在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。 變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求證： 。 證明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。 例2、求證： 。 證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。 3、綜合法 證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。 例3、已知： ， 同號，求證： 。 證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。 4、作商法（作比法） 在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。 例4、設 ，求證： 。 證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。 5、反證法 先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，匯出結論的正確性，達到證題的目的。 例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。 證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。 例6、已知： ， ，求證： 。 證明：因為 ， ， 所以 ， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式獲證。 7、放縮法（增減法、加強不等式法） 在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）裡的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為： 改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。 例7、求證： 。 證明：令 ，則 ， 所以 。 8、數學歸納法 對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。 例8、已知： ， ， ，求證： 。 證明：（1）當 時， ，不等式成立； （2）若 時， 成立，則 = ，即 成立。 根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。 9、換元法 在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。 例9、已知： ，求證： 。 證明：設 ， ，則 ， （因為 ， ）， 所以 。 15樓：匿名使用者 均值不等式：a^2+b^2大於或等於2ab 概念 1 調和平均數 hn n 1 a1 1 a2 1 an 2 幾何平均數 gn a1a2.an 1 n n次 a1 a2 a3 an 3 算術平均數 an a1 a2 an n 4 平方平均數 qn a1 2 a2 2 an 2 n 這四種平均數滿足hn gn an qn a1 a2 an r ... 均值不等式一般高中只需掌握幾何平均數和算術平均數就可以了，柯西不等式只有在選修不等式中會用到，平常做題用的很少，我寫的是最基本的形式，有推廣你可以到時候學選修的時候書上看，都有的 三角不等式是在學向量的時候老師會擴充套件，我這個寫的也是基礎的，所以你不用擔心，以後老師都會在課堂上講到的。希望能幫到你... 樓主往這裡看啊 當x 1時，原不等式化為2 x 1 x 0，則1 0當1 x 2時，原不等式化為2 x x 1 0，則x 3 2，所以此時x範圍是1 x 3 2 當x 2時，原不等式化為x 2 x 1 0，無解所以，x的範圍是 3 2 望採納 o o哈哈 原式可轉化為 1.當x 1時，1 0 2.當...均值不等式是什麼？公式是什麼均值不等式是什麼
均值不等式柯西不等式三角不等式的一般形式是什麼
數學不等式的解法，不等式的解法過程