已知函式f x a x a x a0,a不等於1 判斷函式f x 在 0,正無窮 上的單調性,並用定義加以證明

2022-11-03 14:55:18 字數 3205 閱讀 9640

1樓:匿名使用者

任意取m,n∈(0,+∞)且m<n

f(m)-f(n)=a^m+1/a^m-a^n-1/a^n=[(a^2m+n)+a^n-(a^m+2n)-a^m]/a^m+n=/a^m+n  ①式

該式的分母肯定是大於零的

而且分子的兩個做差項的指數部分的差都等於n-m★當a∈(0,1)時

2m+n<2n+m 所以 a^2m+n>a^m+2n 設二者差值為pm<n 所以 a^n因為a^x的影象是遞減的,而且隨著x的增大,遞減的幅度越來越小,最後趨於零

那麼p所以①式<0

所以該函式為增函式

★當a∈(1,+∞)時

2m+n<2n+m 所以 a^2m+nm<n 所以 a^n>a^m 設二者差值為q

因為a^x的影象是遞增的,而且隨著x的增大,遞減的幅度越來越大那麼p>q

所以①式<0

所以該函式為增函式

可以通過觀察插入的影象,很明顯看出推理過程。

如果學過求導,那麼該問題就更好理解了

2樓:慕容冰靈櫻盟主

對任意x1>x2>0

f(x1)-f(x2)=a^x1+a^(-x1)-a^x2-a^(-x2)=(a^x1-a^x2)+[a^(-x1)-a^(-x2)]=(a^x1-a^x2)+(1/a^x1-1/a^x2)

=(a^x1-a^x2)+(a^x2-a^x1)/a^x1×a^x2=(a^x1-a^x2)(1-1/a^x1×a^x2)

若01, 1-1/a^x1×a^x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0

若a>1, 則a^x是增函式, a^x1>a^x2>a^0=1, ∴a^x1-a^x2>0, a^x1×a^x2>1

∴1/a^x1×a^x2<1, 1-1/a^x1×a^x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0

綜上,f(x1)-f(x2)>0, f(x1)>f(x2), f(x)在(0,+∞)上是單調增函式

不懂,請追問,祝愉快o(∩_∩)o~

已知函式f(x)=a^x-a^(-x)/a^x+a^-x(a>0且a不等於1),1.求函式的值域和定義域2.求函式奇偶3.求函式f(x)單調

3樓:鬆_竹

解:f(x)= [a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)],a>0且a≠1.

(1)∵對於任意的x∈r,a^x>0 ,a^(-x)>0,a^x+a^(-x)>0,

∴函式的定義域為r.

令f(x)=y,

則y= [a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)][a^x+a^(-x)]y=[a^x-a^(-x)][a^(2x)+1]y=[a^(2x)-1]a^(2x)=(1+y)/(1-y)

∵當x∈r時, a^(2x) ∈(0+,∞)∴(1+y)/(1-y)>0,解得-11時,隨著x的增大,a^(2x)也在增大,2/ [a^(2x)+1]在減小,1-2/ [a^(2x)+1]在增大,

∴函式的遞增區間為(-∞,+∞);

同理,當0

已知函式f(x)=a^x+a^(-x),(a>0,a≠1),試判斷函式在(0,正無窮大)上的單調性,並用定義加以證明

4樓:匿名使用者

設x1>x2>0

f(x1)-f(x2)=a^x1+1/a^x1-a^x2-1/a^x2=(a^x1-a^x2)+(a^x2-a^x1)/(a^x1*a^x2)=(a^x1-a^x2)[1-1/a^(x1+x2)]

(1)當a>1時,a^x1>a^x2,x1+x2>0,即有a^(x1+x2)>1,1-1/a^(x1+x2)>0

故有f(x1)-f(x2)>0

(2)當00

所以,函式f(x)在(0,+無窮)上是增函式。

已知函式f(x)=a^x-1/a^x+1(a>0且a不等於1) 判斷函式f(x)的奇偶性

5樓:我不是他舅

f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1]上下乘a^x

且a^x*a^(-x)=a^(x-x)=1所以f(-x)=(1-a^x)/(1+a^x)=-f(x)且定義域是r,關於原點對稱

所以是奇函式

急求!!高一數學!!!已知函式f(x)=a^x-1/a^x+1(a>0且a不等於1)

6樓:憂困

^^1.定義域a^x+1≠0 顯然,對制於任bai意的x∈r,該式成立

因此定義域du為x∈r

f(x)=a^zhix+1-2/a^x+1=1-2/(a^x+1)因為a^x>0 , a^x+1>1 , 0<2/(a^x+1)<1/2

-1/2<-2/(a^x+1)<0 1/2<1-2/(a^x+1)<1

即1/2daoa^x減 a^x+1減 2/(a^x+1)增 -2/(a^x+1)減 1-2/(a^x+1)減

同理,當a>1時,增函式

高一數學已知f(x)=a/a^-1(a^x-a^-x)(a>0,且a不等於1)

7樓:匿名使用者

f(x)=a^x-a^-x

f(-x)=a^(-x)-a^x=-f(x)所以,f(x)是一個奇函式.同時可證得是減函式.

由題意:

f(1-m^2)<-f(1-m)

因為是奇函式

所以-f(1-m)=f[-(1-m)]=f(m-1)即f(1-m^2)m-1

解得:-2-1

1-m^2<1

解得:-根號2

0

8樓:匿名使用者

f(x)=x2-2x+1

則f(x)=(x-1)的平方

1)a=[-1,0] 時

x=0 取最小值 為 1

x=-1 最大者 4

2)a=[-1,2】

x=1 取最小值 為 0

x= -1 最大者4

3)a=[2,3]

x=2 取最小值1

x= 3最大者 4

2.f(x)=x+4/x

xf(x)=x的平方+4

求解且方程有解

求範圍[-5,-4]

9樓:匿名使用者

你把函式寫的清楚點,這樣我看不明白,沒辦法答

已知f x 是二次函式,不等式f x 0的解集是 0,6 且f x 在區間上的最大值是12,求f x 解析式

f x 0的解集是 0,6 這樣f x 可以寫成f x ax x 6 ax 2 6ax,其中a 0。f x 的對稱軸為x 3,此時f x 在 1,4 上最小值為f 3 最大值為f 1 a 6a 7a 12 1離對稱軸最遠 a 12 7。代回原式得f x 12 7x x 6 f x 0的解集是 0,6...

已知二次函式Y AX 2 BX C A不等於0 的影象經過O 0,0 ,M 1,1 和N N,0 N不等於0 三點

你好 1 因為函式頂點為m 1,1 設函式為y a x 1 1 將點o 0,0 代入得a 1 所以y x 1 1 令 x 1 1 0 解得x 0或x 2 所以n 2 函式最大值為1 2 當n 2時 設函式為y ax x 2 將m 1,1 代入得 a 1 3 所以函式為y 1 3x 2 3x,函式開口...

高中數學不等式。已知x》0,y》0,且xy

不是方法錯了,而是你自己算的過程錯了,你的方法帶出來的結果應該是 2 y x 2 x y 得到4 2 x y y x 1,再採用均值不等式,就得到了最小值9,並且取等號的時候,是x y 1 2。樓上的方法,我表示沒看懂,1 x 1 y 1 xy 2 xy,我實在沒懂,求樓上大神指教 首先你用均值不等...