1樓：長孫梅花幹冬
反證法向量組線性無關
假設部分向量組
,是1,2,...,n的一個子集
若線性相關
則存在不全為零的數列，
使得sigma
kniani
=0然後把向量組補全，令補上的向量的kn全是0（kni依舊不變）
我們就有
sigma
knan
=0,其中kn不全為零，這與原線性向量組線性無關矛盾所以矛盾
原結論成立
2樓：富微蘭始橋
反證法：若某一個部分向量組線性相關，則原向量組線性相關設原向量組為x1,x2……xn,如果某個部分向量組線性相關比如x1,x2,x3,
就是說a1*x1+a2*x2+a3*x3=0時，a1,a2,a3,不全為0，則對b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0該式成立，就是b1到bn不全為0
所以原向量組線性相關
3樓：仉孝烏己
你的「向量之間彼此線性無關」是什麼意思？是說這組向量中，任何兩個向量都線性無關嗎？
如果是這樣的話，不一定成立。
就以三個向量的向量組為例：
a=（1，0，0）；b=（0，1，0）；c=（1，1，0）a和b線性無關，b和c線性無關，c和a線性無關。但是c=a+b，a、b、c之間線性相關。
4樓：職場達人承老師
回答1、定義法
令向量組的線性組合為零（零向量），研究係數的取值情況，線性組合為零當且僅當係數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的係數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。
2、向量組的相關性質
（1）當向量組所含向量的個數與向量的維數相等時，該向量組構成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組線性無關；
（2）當向量組所含向量的個數多於向量的維數時，該向量組一定線性相關；
（3）通過向量組的正交性研究向量組的相關性；
（4）通過向量組構成的齊次線性方程組解的情況判斷向量組的線性相關性；線性方程組有非零解向量組就線性相關，反之，線性無關。
（5）通過向量組的秩研究向量組的相關性。若向量組的秩等於向量的個數，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小於向量的個數，則該向量組是線性相關的
更多7條
證明：若一個向量組線性無關，則它的任何一個部分向量組也線性無關。
5樓：匿名使用者
反證法：若某一個部分向量組線性相關，則原向量組線性相關設原向量組為x1,x2……xn,如果某個部分向量組線性相關比如x1,x2,x3,
就是說a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 時，a1,a2,a3,不全為0，則對b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0該式成立，就是b1到bn不全為0
所以原向量組線性相關
6樓：匿名使用者
反證法向量組線性無關
假設部分向量組 , 是1,2,...,n的一個子集若線性相關
則存在不全為零的數列，
使得sigma kni ani =0
然後把向量組補全，令補上的向量的kn全是0 （kni依舊不變）我們就有
sigma kn an =0, 其中kn不全為零，這與原線性向量組線性無關矛盾
所以矛盾
原結論成立
如何證明一個線性無關的向量組的任何一個部分組也線性無關
7樓：定爾芙賽緯
設a1,a2,...,as
是某向量組中的一個線性無關部分組
擴充步驟如下:
任取向量組中一個向量β
考慮向量β是否可由a1,a2,...,as線性表示(1)若β可由a1,a2,...,as線性表示則放棄此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as線性表示則新增此向量得線性無關的部分組a1,a2,...,as,a(s+1):=β
這個部分組為什麼線性無關:
設k1a1k2a2+...+ksas+kβ=0由於β不能由a1,a2,...,as線性表示,所以有k
=0所以
k1a1k2a2+...+ksas=0.
再由a1,a2,...,as
線性無關,
k1=k2=...=ks=0
故a1,a2,...,as,β
線性無關.
如此進行下去,
遍歷整個原向量組,
得一擴充的部分組:
a1,a2,...,ar
滿足:1)
線性無關
2)原向量組中任一向量都可由此部分組線性表示故a1,a2,...,ar即為一個極大無關組.
證明如果向量組線性無關,則向量組的任一部分組都線性無關
8樓：匿名使用者
證明，用反證法，
設有向量抄組a1，a2,a3,a4,…，an線性無關，bai同時，設du
其中向量a1，a2,a3,a4,…，aj線性相zhi關，j該向量組組dao成的矩陣a=[a1，a2,a3,a4,…，aj，…，an](方括號裡面是列，不是行，這裡輸不了)可以通過初等變換變為a=[，，，,…，aj，…，an]，則a的秩為n-j+1 9樓：長映諫瑩 向量組baia線性相關,則其中 du的任一部分zhi組都線性相關,為什麼不對dao？ 說明結版 論不對，只有能舉權出反例就可以了。反例如下： 向量組a：a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(1,1,0) 顯然a3=a1+a2,故向量組a線性相關，但a的部分組a1,a2線性無關。 對於選項a 因為 3 1 2 3 1 2 故向量組 1 2，2 3，3 1線性相關，從而排除a 對於選項b 因為 1 2 2 3 1 2 2 3 故向量組 1 2，2 3，1 2 2 3線性相關，從而排除b 對於選項c 若存在常數k1，k2，k3，使得 k1 1 2 2 k2 2 2 3 3 k3 ... 矩陣每一行都意味著一個向量，這些向量中的任一個不能由其他所有向量線性表出時，向量組線性無關，數學語言說就是 ki i 0時必有ki 0，判斷方法是做初等行變換或初等列變換 注意是或 若最後行向量或列向量均非0，則表明線性無關，否則線性相關 判斷向量組線性相關還是線性無關？判斷 若沒有向量可用有限個其... 矩陣p可逆說明p是滿秩，也就是說p的行列式不等於0。列向量中沒有哪一個可以由其他向量線性表示，即列向量線性無關。p可逆，列 行 向量線性無關，p行列式不等於0，p滿秩，p的特徵值都不為0，這幾個是等價命題。矩陣可逆，則秩 行向量個數 列向量個數。矩陣的行向量組的秩等於行向量的個數，所以行向量組線性無...設向量組1，2，3線性無關，則下列向量組中，線性無關的
判斷向量組線性無關的是,判斷向量組線性相關還是線性無關？
為什麼矩陣可逆，它的行向量組就線性無關，列向量組也線性無關