怎麼證明圓周率派是無理數

2021-12-23 23:14:03 字數 2839 閱讀 9759

1樓:佇立的曠野

圓周率是有理數還是無理數,證明給你看

2樓:北美敗家子

圓周率π是無理數。證明如下:

假設π是有理數,則π=a/b,(a,b為自然數)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0

0

0

以上兩式相乘得:

0

當n充分大時,,在[0,π]區間上的積分有

0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1)

又令:f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)

由於n!f(x)是x的整係數多項式,且各項的次數都不小於n,故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數,因此,f(x)和f(π)也都是整數。

又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx

=f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx

=f"(x)sinx+f(x)sinx

=f(x)sinx

所以有:

∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx],(此處上限為π,下限為0)

=f(π)+f(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]區間上的積分為整數,這與(1)式矛盾。所以π不是有理數,又它是實數,故π是無理數。

證明π是無理數

3樓:

假設pi=a/b,我們定義(對某個n):

f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!

f(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x)

這裡f^(2j)是f的2j次導數.

於是f和f有如下性質(都很容易驗證):

(1)f(x)是一個整係數多項式除以n!。

(2)f(x) = f(pi - x)

(3)f在(0,pi)區間上嚴格遞增,並且x趨於0時f(x)趨於0,

x趨於pi時f(x)趨於pi^n * a^n / n!

(4)對於0 <= j < n, f的j次導數在0和pi處的值是0。

(5)對於j >= n, f的j次導數在0和pi處是整數(由1)可知)。

(6)f(0)和f(pi)是整數(由4),5)可知)。

(7)f + f'' = f

(8)(f'·sin - f·cos)' = f·sin (由7)可知)。

這樣,對f·sin從0到pi進行定積分,就是

(f'(pi)sin(pi)-f(pi)cos(pi)) - (f'(0)sin(0)-f(0)cos(0))

=f(pi)+f(0)

由(6)可知這是個整數。

問題在於如果把n取得很大,由3)可知f·sin從0到pi進行定積分必須嚴格大於0嚴格小於1。矛盾,證畢。

4樓:

利用反證法,假設π是有理數,設π=a/b,a,b為互質正整數,定義f(x)=x^n*(a–bx)^n/n!

=\sum_^n (-1)^i*a^(n-i)*b^i*x^(n+i)/ n!.

f(0)=0;當02n時顯然有f(r)(0)=0, 當

5樓:o5議會某人員

分子和分母不是無理數這個分數就一定是有理數。然而周長/直徑等於兀,但周長和直徑都是有理數

6樓:欒聰丘夜梅

假設∏是有理數,則∏=a/b,(a,b為自然數)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0

0

0

以上兩式相乘得:

0

當n充分大時,,在[0,∏]區間上的積分有

0<∫f(x)sinxdx

<[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1

…………(1)

又令:f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)

由於n!f(x)是x的整係數多項式,且各項的次數都不小於n,故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數,因此,f(x)和f(∏)也都是整數。

又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx

=f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx

=f"(x)sinx+f(x)sinx

=f(x)sinx

所以有:

∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx],(此處上限為∏,下限為0)

=f(∏)+f(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0,∏]區間上的積分為整數,這與(1)式矛盾。所以∏不是有理數,又它是實數,故∏是無理數。

7樓:電燈劍客

3樓貼的證法已經是很簡潔的經典證法了。

首先需要肯定的是,π的定義依賴於極限,所以基本上不可能在初等數學範疇裡完成。

還有一種比較常規的方法就是利用連分數,其思想很簡單,因為有理數的連分數表示是有限的,只要找到π的連分數表示就行了。這種做法還可以適用於很多無理數的證明,當然你首先需要掌握如何把taylor級數轉化成連分數形式。學習這種方法還不如把3樓提供的方法看懂。

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