高一數學函式求值域的方法,高一數學函式求值域的方法

2021-09-14 05:52:19 字數 5527 閱讀 6168

1樓:匿名使用者

1.觀察法

用於簡單的解析式。

y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).

2.配方法

多用於二次(型)函式。

y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, +∞)

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞)

3. 換元法

多用於複合型函式。

通過換元,使高次函式低次化,分式函式整式化,無理函式有理化,超越函式代數以方便求值域。

特別注意中間變數(新量)的變化範圍。

y=-x+2√( x-1)+2

令t=√(x-1),

則t≤0, x=t^2+1.

y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(-∞, 1].

4. 不等式法

用不等式的基本性質,也是求值域的常用方法。

y=(e^x+1)/(e^x-1), (01/(e-1),

y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),+∞).

5. 最值法

如果函式f(x)存在最大值m和最小值m.那麼值域為[m,m].

因此,求值域的方法與求最值的方法是相通的.

6. 反函式法

有的又叫反解法.

函式和它的反函式的定義域與值域互換.

如果一個函式的值域不易求,而它的反函式的定義域易求.那麼,我們通過求後者而得出前者.

7. 單調性法

若f(x)在定義域[a, b]上是增函式,則值域為[f(a), f(b)].減函式則值域為

[f(b), f(a)].

2樓:匿名使用者

求 函式值域的幾種常見方法

1.直接法:利用常見函式的值域來求

一次函式y=ax+b(a 0)的定義域為r,值域為r;

反比例函式 的定義域為,值域為;

二次函式 的定義域為r,

當a>0時,值域為;當a<0時,值域為.

例1.求下列函式的值域

① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④

解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3,

∴-1 3x+2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5]

②∵ ∴

即函式 的值域是

③ ④當x>0,∴ = ,

當x<0時, =-

∴值域是 [2,+ ).(此法也稱為配方法)

函式 的影象為:

2.二次函式比區間上的值域(最值):

例2 求下列函式的最大值、最小值與值域:

① ;解:∵ ,∴頂點為(2,-3),頂點橫座標為2.

①∵拋物線的開口向上,函式的定義域r,

∴x=2時,ymin=-3 ,無最大值;函式的值域是.

②∵頂點橫座標2 [3,4],

當x=3時,y= -2;x=4時,y=1;

∴在[3,4]上, =-2, =1;值域為[-2,1].

③∵頂點橫座標2 [0,1],當x=0時,y=1;x=1時,y=-2,

∴在[0,1]上, =-2, =1;值域為[-2,1].

④∵頂點橫座標2 [0,5],當x=0時,y=1;x=2時,y=-3, x=5時,y=6,

∴在[0,1]上, =-3, =6;值域為[-3,6].

注:對於二次函式 ,

⑴若定義域為r時,

①當a>0時,則當 時,其最小值 ;

②當a<0時,則當 時,其最大值 .

⑵若定義域為x [a,b],則應首先判定其頂點橫座標x0是否屬於區間[a,b].

①若 [a,b],則 是函式的最小值(a>0)時或最大值(a<0)時,再比較 的大小決定函式的最大(小)值.

②若 [a,b],則[a,b]是在 的單調區間內,只需比較 的大小即可決定函式的最大(小)值.

注:①若給定區間不是閉區間,則可能得不到最大(小)值;

②當頂點橫座標是字母時,則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關係進行討論.

3.判別式法(△法):

判別式法一般用於分式函式,其分子或分母只能為二次式,解題中要注意二次項係數是否為0的討論

例3.求函式 的值域

方法一:去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①

當 y11時 ∵x?r ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0

由此得 (5y+1) 0

檢驗 時 (代入①求根)

∵2 ? 定義域 ∴

再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11

綜上所述,函式 的值域為

方法二:把已知函式化為函式 (x12)

∵ x=2時 即

說明:此法是利用方程思想來處理函式問題,一般稱判別式法. 判別式法一般用於分式函式,其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項係數是否為0的討論.

4.換元法

例4.求函式 的值域

解:設 則 t 0 x=1-

代入得5.分段函式

例5.求函式y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1:將函式化為分段函式形式: ,畫出它的圖象(下圖),由圖象可知,函式的值域是.

解法2:∵函式y=|x+1|+|x-2|表示數軸上的動點x到兩定點-1,2的距離之和,∴易見y的最小值是3,∴函式的值域是[3,+ ]. 如圖

兩法均採用“數形結合”,利用幾何性質求解,稱為幾何法或圖象法.

說明:以上是求函式值域常用的一些方法(觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等),隨著知識的不斷學習和經驗的不斷積累,還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解,有的題用某種方法求解比較簡捷,同學們要通過不斷實踐,熟悉和掌握各種解法,並在解題中儘量採用簡捷解法.

三、練習:

1 ;解:∵x 0, ,∴y 11.

另外,此題利用基本不等式解更簡捷:

2 ∵2 -4x+3>0恆成立(為什麼?),

∴函式的定義域為r,

∴原函式可化為2y -4yx+3y-5=0,由判別式 0,

即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),

解得0 y 5,又∵y 0, ∴0 注意:利用判別式法要考察兩端點的值是否可以取到.

3 求函式的值域

① ; ②

解:①令 0,則 ,

原式可化為 ,

∵u 0,∴y ,∴函式的值域是(- , ].

②解:令 t=4x- 0 得 0 x 4

在此區間內 (4x- ) =4 ,(4x- ) =0

∴函式 的值域是

小結:求函式值域的基本方法(直接法、換元法、判別式法);二次函式值域(最值)或二次函式在某一給定區間上的值域(最值)的求法.

作業:求函式y= 值域

解:∵ ,

∴函式的定義域r,原式可化為 ,

整理得 ,

若y=1,即2x=0,則x=0;

若y 1,∵ r,即有 0,

∴ ,解得 且 y 1.

綜上:函式是值域是.

3樓:匿名使用者

求值域的方法

1. 直接觀察法

對於一些比較簡單的函式,其值域可通過觀察得到

2. 配方法

配方法是求二次函式值域最基本的方法之一

3. 判別式法

4. 反函式法

直接求函式的值域困難時,可以通過求其原函式的定義域來確定原函式的值域

5. 函式有界性法

直接求函式的值域困難時,可以利用已學過函式的有界性,反客為主來確定函式的值域

6. 函式單調性法

7. 換元法

通過簡單的換元把一個函式變為簡單函式,其題型特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型,換元法是數學方法中幾種最主要方法之一,在求函式的值域中同樣發揮作用

8. 數形結合法

其題型是函式解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離公式直線斜率等等,這類題目若運用數形結合法,往往會更加簡單,一目瞭然,賞心悅目

9. 不等式法

利用基本不等式,求函式的最值,其題型特徵解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧

10. 一一對映法

原理:因為在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變數中,若知道一個變數範圍,就可以求另一個變數範圍

11. 多種方法綜合運用

《函式值域求法十一種》尚化春

函式的定義域就是使函式有意義的自變數的取值集合

1,對於函式是整式結構,沒有特殊說明,定義域為r

例:y=x^2+3x-5,定義域為r

2,分式結構,分母不為零

例:y=(3x+5)/(x^2-1)

函式要有意義則x^2-1≠0∴x≠±1

∴定義域為{x|x∈r,且x≠±1}

3,開偶次方根被開方數大於等於0

例:y=√(x^2-x-2)

函式要有意義則x^2-x-2≥0∴x≥2或x≤-1

∴定義域為{x|x≥2或x≤-1}

再來個綜合的

例:y==[√(x^2-x-2)]/(x^2-1)

函式要有意義則x^2-x-2≥0 ① x^2-1≠0②

∴定義域為{x|x≥2或x<-1}(對兩個不等式求交集)

4,對數函式要注意真數大於0,底數大於0且不等到於1這些都是有意義的條件

例:y=log2 (x^2-x-2) (x^2-x-2是真數,2是底數)

函式要有意義則x^2-x-2>0

所以定義域為{x|x>2或x<-1}

若底數含有自變數則底數大於0且不等到於1

5,若是指數為0函式,底數不能為0

例;y=(2x-1)^0

則定義域為{x|x≠1/2}

總之定義域是函式有意義的自變的範圍,若是實際應用題還要符合實際意義.

高一數學必修一函式求值域方法,請給出例題。謝謝

4樓:匿名使用者

1. 換元法y = 2x +1 - (根號下x+3)解:根號下x+3=t則x=t^2-3且t>=0y=2x +1 - (根號下x+3)=2(t^2-3)+1-t=2t^2-t-5=2(t-1/2)^2-5-1/2 =2(t-1/2)^2-11/2因為t>=0二次函式求值域顯然y>=-11/2所以值域為[-11/2,正無窮)2.

配方法y=x^4+2x^2-1解:y=(x^2+1)^2-2,題目x範圍沒給出,若x∈r,則值域為y∈[-1,無窮大)3.分離法f(x)=x+1分之4x-1 解:

f(x)=4(x+1)-5 /x+1 =4 - (5/ x+1 ) 當x+1>0時,即x>-1,則值域為:f(x)<4當x+1<0時,即x<-1,則值域為:f(x)>44.

直接法(觀察法)用於簡單的解析式y=1-√x≤1解:值域(-∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1解:值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).

5. 不等式法6. 最值法7.

反函式法,這個3個方法的不要是麼?感覺都很有用的!望採納!!!!

高一數學題求值域

令x 0,y 1 則f 1 f 0 f 1 f 0 0 令y x,則x y 0 f 0 f x f x 0 f x f x 令x a,y b,所以f a b f a f b f a f b 不妨令a b,a b 0,所以f a b 0所以f a b f a f b 0 所以f x 是增函式 f 1 ...

高一數學函式定義域與值域講解,高一數學函式(值域 定義域)8種解法

定義域為自變數取值範圍 值域即可取到的值的範圍 1 任何函式體都是在定義域的範圍內討論的 定義域就是指對函式自變數的限定 1 當題目沒有特別限定的時候 要按照式子的性質來 比如說在y 1 x中 分母是不能等於零的 所以該函式的定義域為x 0 0,還有比如在y x 1 中 根號下的式子是不能小於零的 ...

高一數學啊,高一數學高一數學

y 1 tana 2sina cona con b c 1 tana 2 sin b c 2con a b c 2 con a b c 2 1 tana sinbconc conbsinc sinbsinc 1 tana 1 tanb 1 tanc 任意交du換zhi角與 dao版y值無關權 呼 做...