1樓：夏de夭
首先，baie（n階）的特徵值只有1且任意n個線du性無zhi關的列向量都是e的特徵dao向版
量。設a的一個特徵權值為λ，屬於它的a的特徵向量為α，則aα＝λα，所以（e-a）α＝eα-aα＝1α+λα＝（1+λ）α，即1+λ是e+a的特徵值。
補充：e的特徵值只能是1這個很好證明，直接寫出特徵多項式|λe-e|=（λ-1）^n，它的根只有1；而λe-e得到的0矩陣，因此任意向量都是方程（λe-e）x=0的解，所以只需使它們線性無關即可。
為什麼 矩陣a的特徵值是1,1,0，那麼a+e的特徵值是2,2,1？a+ne呢？ a-ne呢？
2樓：匿名使用者
有個定理:
設copy f(x) 是
個多項式, λ是a的特徵值bai, α是dua的屬於特徵值λzhi的特徵向量dao
則 f(λ) 是 f(a) 的特徵值, α仍是f(a)的屬於特徵值f(λ)的特徵向量
所以 設 f(x) = x+1, 則 f(a) = a+ea的特徵值是1,1,0, f(a) 的特徵值就是 f(1),f(1),f(0), 即 2,2,1.
同理, a+ne 的特徵值是 1+n, 1+n, na-ne 的特徵值是 1-n, 1-n, -n
λ1，λ2是矩陣a的兩個不同的特徵值，對應的特徵向量分別為α1，α2，求證α1，α2線性無關。
3樓：匿名使用者
證明: 設 k1α1+k2α2=0 (1)等式兩邊左乘a得 k1aα1+k2aα2=0由已知得 k1λ1α1+k2λ2α2=0 (2)λ1*(1) - (2)
k2(λ1-λ2)α2=0
因為α2是特徵向量, 故不等於0
所以 k2(λ1-λ2)=0
而 λ1,λ2是矩陣a的兩個不同的特徵值
所以 k2=0
代入(1)知k1=0.
故α1,α2線性無關
4樓：匿名使用者
定理：屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的
證明：對特徵值的個數做數學歸納法。由於特徵向量是不為零的，所以單個的特徵向量必然線性無關。現在設屬於k個不同特徵值的特徵向量線性無關，
我們證明屬於k+1個不同特徵值λ1,λ2,...,λ(k+1)的特徵向量ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)也線性無關。
假設有關係式a1ξ1+a2ξ2+...+akξk+a(k+1)ξ(k+1)=0（1）成立，等式兩端乘以λ(k+1)得：
a1λ(k+1)ξ1+a2λ(k+1)ξ2+...+akλ(k+1)ξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（2）
（1）式兩端同時作用a，即有
a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+...+akλkξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（3）
（3）減去（2）得到
a1(λ1-λ(k+1))ξ1+...+a(k+1)(λk-λ(k+1))ξ(k+1)=0
根據歸納法假設，ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)線性無關，於是ai(λi-λ(k+1))=0,i=1,2,...,k.
但λi-λ(k+1)≠0(i≤k)，所以ai=0，i=1,2,...,k.
這時（1）式變為a(k+1)ξ(k+1)=0.又因為ξ(k+1)≠0，所以只有a(k+1).
這就證明了ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)線性無關。
線性代數題目:設三階矩陣a的特徵值為λ1=2 λ2=-2 λ3=1 對應的特徵值向量依次為p1=（0 1 1）p2=(1 1 1)
5樓：匿名使用者
【解法一】
由ap1=λ1p1，ap2=λ2p2，ap3=λ3p3，知p1，p2，p3是矩陣a的不同特徵值的特徵向量，它們線性無關。利用分塊矩陣，有
a(p1，p2，p3)=(λ1p1，λ2p2，λ3p3），因為矩陣（p1，p2，p3）可逆，故
a=(λ1p1，λ2p2，λ3p3）(p1，p2，p3)-1根據矩陣乘法運算，得a為
-2 3 -3
-4 5 -3
-4 4 -2
【解法二】
因為矩陣a有3個不同的特徵值，所以a可相似對角化，有q-1aq = b，q=（p1，p2，p3），b為2 0 0
0 -2 0
0 0 1
那麼a=qbq-1=... 下略。
【評註】
反求矩陣a的過程，解法一是通過特徵值，特徵向量與a的關係求解。解法二是通過相似對角陣來求解。
newmanhero 2023年4月18日15:34:37希望對你有所幫助，望採納。
6樓：prince於辰
由於三階矩陣a有3個不同的特徵值，故矩陣a可相似對角化，即存在可逆矩陣p，使得：
p▔*a*p=b （其中p▔為p的逆陣，b為對角陣）p=(p1,p2,p3),b=diag(λ1,λ2,λ3)則a= p*b*p▔
7樓：匿名使用者
題目中給出的特徵值向量依次為 p1=（0 1 1），p2=(1 1 1)，p3=(1 1 0)錯誤，
不同特徵值的特徵向量應互相正交。
記特徵值矩陣 ∧ = diag(λ1, λ2, λ3), 特徵向量矩陣 p = (p1, p2, p3), 則
ap = p∧， a = p∧p^(-1).
8樓：匿名使用者
由ap1=λ1p1，ap2=λ2p2，ap3=λ3p3，知p1，p2，p3是矩陣a的不同特徵值的特徵向量，它們線性無關。利用分塊矩陣，有
a(p1，p2，p3)=(λ1p1，λ2p2，λ3p3），因為矩陣（p1，p2，p3）可逆，故
a=(λ1p1，λ2p2，λ3p3）(p1，p2，p3)-1根據矩陣乘法運算，得a為
-2 3 -3
-4 5 -3
-4 4 -2
設三階矩陣a的特徵值為-1，1，2，求|a*|以及|a^2-2a+e|
9樓：drar_迪麗熱巴
答案為2、4、0。
解題過程如下：
1. a的行列式等於a的全部特徵值之積
所以 |a| = -1*1*2 = -2
2. 若a是可逆矩陣a的特徵值, 則 |a|/a 是a*的特徵值
所以a*的特徵值為 2,-2,-1
所以|a*| = 2*(-2)*(-1) = 4.
注: 當然也可用伴隨矩陣的行列式性質 |a*| = |a|^(n-1) = |a|^2 = (-2)^2 = 4.
3. 若a是可逆矩陣a的特徵值, 則對多項式g(x), g(a)是g(a)的特徵值
這裡 g(x) = x^2-2x+1, g(a)=a^2-2a+e
所以 g(a)=a^2-2a+e 的特徵值為 g(-1),g(1),g(2), 即 4,0,1
所以 |a^2-2a+e| = 4*0*1 = 0
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是a的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
第一步：計算的特徵多項式；
第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組：
的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量是
（其中是不全為零的任意實數）．
[注]：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等。
10樓：等待楓葉
|^|a*|等於4。|a^2-2a+e|等於0。
解：因為矩陣a的特徵值為λ1=-1，λ2=1，λ3=2，那麼|a|=λ1*λ2*λ3=-1*1*2=-2。
又根據|a*| =|a|^(n-1)，可求得 |a*|= |a|^2 = (-2)^2 = 4。
同時根據矩陣特徵值性質可求得a^2-2a+e的特徵值為η1、η2、η3。
則η1=(λ1)^2-2λ1+1=4，η1=(λ2)^2-2λ2+1=0，η3=(λ3)^2-2λ3+1=1，
則|a^2-2a+e|=η1*η2*η3=4*0*1=0
即|a*|等於4。|a^2-2a+e|等於0。
11樓：匿名使用者
|此題考查特徵值的性質
用常用性質解此題:
1. a的行列式等於a的全部特徵值之積
所以 |a| = -1*1*2 = -2
2. 若a是可逆矩陣a的特徵值, 則 |a|/a 是a*的特徵值所以a*的特徵值為 2,-2,-1
所以|a*| = 2*(-2)*(-1) = 4.
注: 當然也可用伴隨矩陣的行列式性質 |a*| = |a|^(n-1) = |a|^2 = (-2)^2 = 4.
3. 若a是可逆矩陣a的特徵值, 則對多項式g(x), g(a)是g(a)的特徵值
這裡 g(x) = x^2-2x+1, g(a)=a^2-2a+e所以 g(a)=a^2-2a+e 的特徵值為 g(-1),g(1),g(2), 即 4,0,1
所以 |a^2-2a+e| = 4*0*1 = 0
12樓：迮微蘭盛卿
^-2,2,5,把原來的特徵值帶入方程即可。
第一個理解，設v是a的對應特徵值a的特徵向量，那麼bv=(a^2+2a+-1)v,v也是b的對應於a^2+2a+-1的特徵向量。從而因為a有個特徵值，對應三個特徵向量v1,v2,v3,所以我們也找到了b的三個特徵向量，對應的特徵值可以算出。
第二個理解，從矩陣看，a可以對角化，即存在可逆陣p使得，pap^為對角陣，對角線元素為-1,1,2,從而你可以計算pbp^也是個對角陣，（注意，pa^2
p^=pap^pap^,
簡單）對角線元素可以輕易
算出。這兩個解釋本質是一樣的
13樓：大鋼蹦蹦
||||(a*)a=|a|e
同取行列式
|(a*)a|=||a|e|
|(a*)|*|a|=||a|e|=|a|^3|a*|=|a|^2=（-1*1*2）^2=4|a^2-2a+e|=|(a-e)^2|=|a-e|^2a-e的特徵值是：-2,0,1
所以|a-e|=0
|a^2-2a+e|=0
秩為1的矩陣的特徵值,為什麼秩為1，就有特徵值0？？
秩為bai1的矩陣，1 個非零特徵du值是矩陣的跡，zhi 即對角元元素之和，其它dao特徵值均為0。若a中至回少有一個r階子答式不等於零，且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣,det a 0 不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det a 0。矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一...
如何證明正交矩陣的特徵值為1或,如何證明正交矩陣的特徵值為1或
設 是正交矩陣a的特徵值，x是a的屬於特徵值 的特徵向量即有 ax x，且 x 0。兩邊取轉置，得 x ta t x t所以 x ta tax 2x tx因為a是正交矩陣，所以 a ta e 所以 x tx 2x tx 由 x 0 知 x tx 是一個非零的數 故 2 1 所以 1或 1 正交矩陣畢...
這個矩陣的特徵值中其中為0。這個0對應的特徵向量是0向量，但是不是說特徵向量不能為0麼
你算錯了 特徵值是0 但是0對應的特徵向量不是0向量 是 1 1 1 t 我剛算了一下，把特徵 值0迴帶，最後解得得特徵值不為0，你算錯了。因為特專征值就是靠矩屬陣行列式為0求出來的，矩陣行列式要為0的話，則秩一定不是滿的，那麼係數矩陣最下面一行可以完全消成0，這樣再解這個齊次線性方程，3個未知數，...