證明在所有周長一定的四邊形中，正方形的面積最大

1樓：匿名使用者

很嚴格的證明一時也想不出，姑且這樣證吧：

設四個邊按順時針分別是abcd

（1）在等周時面積最大的四邊形應有以下性質：a=b,c=d證：假定面積最大的四邊形不滿足此條件，即a≠b，c≠d。

用一個對角線把這個四邊形分成兩個三角形，a，b和c，d各在一個三角形中。利用海**式和均值不等式很容易證明，如果令a'=b',c'=d',則新的四邊形比原有的要大，與假設矛盾。這樣就證明了（1）

（2）利用（1），容易證明面積最大的四邊形應滿足a=b=c=d，或者說這個四邊形是一種菱形

證明法同1類似

（3）容易證明在滿足（2）的菱形中，有一個角是直角時面積最大，因此這個菱形是正方形。

綜上，周長相等的四邊形中，正方形面積最大。

證明:在所有周長一定的四邊形中，正方形的面積最大。

2樓：人氣大美女

很嚴格的證明一時也想不出，姑且這樣證吧: 設四個邊按順時針分別是abcd (1)在等周時面積最大的四邊形應有以下性質:a=b,c=d 證:

假定面積最大的四邊形不滿足此條件，即a≠b，c≠d。用一個對角線把這個四邊形分成兩個三角形，a，b和c，d各在一個三角形中。利用海**式和均值不等式很容易證明，如果令a'=b',c'=d',則新的四邊形比原有的要大，與假設矛盾。

這樣就證明了(1) (2)利用(1)，容易證明面積最大的四邊形應滿足a=b=c=d，或者說這個四邊形是一種菱形證明法同1類似 (3)容易證明在滿足(2)的菱形中，有一個角是直角時面積最大，因此這個菱形是正方形。綜上，周長相等的四邊形中，正方形面積最大。

怎麼證明用相同長度的東西做四邊形正方形面積最大

3樓：匿名使用者

證明：設一線段的長為4a，則正

方形的面積為：a²；設長方形的寬為b(b＜a)，則長為2a-b而長方形的面積為：s=(2a-b)b=2ab-b²，顯然面積s是寬b的二次函式，這個函式在b=-2a/[2×(-1)=a時取得最大值，其最大值就是：

a²，而a²是正方形的面積，所以當b＜a時，長方形的面積小於正方形。

其它形狀的四邊形如平行四邊形、菱形、不規則的四邊形在周長相等的情況下，都是其面積小於正方形的。

4樓：匿名使用者

我只能證明四邊形為矩形和平行四邊形的情況，至於任意不規則四邊形，證明會相當難

5樓：秋至露水寒

做個正方形面積最大就可以了

求證大小問題, 為什麼周長為l的四邊形中正方形的面積最大

6樓：匿名使用者

假設一任意四邊形，有一邊長為a，四邊形面積公式為底乘高。即a*h。根據三角形中直角邊不可能大於斜邊的原理，如果四邊形要面積要最大，高一定是四邊形一條邊且垂直底邊。

又在周長為l（四邊長總和不變）長方形面積必小於正方形（可以自己設值列方程求證，這裡打不方便），所以是正方形最大