1樓：崇光熙
1全部組成一個矩陣，求秩，矩陣的秩=向量個數時無關，矩陣的秩《向量個數時相關
如果向量維數等於向量個數，把這些向量構成一個行列式，如果值非0則線性無關。
如果向量維數大於向量個數，需要取所有的向量維數等於個數的縮短組，計算行列式，如果存在非0則線性無關。
另外還可以施密特正交化，如果在某一步後得到0向量則線性相關。
①行列式是針對方陣的
②行列式=0，意味著空間壓縮，比如本來三維的，壓縮成了二維的平面（本來不在同一維度上的東西壓縮到了同一維度），線性相關
②行列式》<0(不等於0），意味著空間未壓縮，維度不變，線性無關
1、定義法
令向量組的線性組合為零（零向量），研究係數的取值情況，線性組合為零當且僅當係數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的係數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。
2、向量組的相關性質
（1）當向量組所含向量的個數與向量的維數相等時，該向量組構成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組線性無關；
（2）當向量組所含向量的個數多於向量的維數時，該向量組一定線性相關；
（3）通過向量組的正交性研究向量組的相關性；
（4）通過向量組構成的齊次線性方程組解的情況判斷向量組的線性相關性；線性方程組有非零解向量組就線性相關，反之，線性無關。
（5）通過向量組的秩研究向量組的相關性。若向量組的秩等於向量的個數，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小於向量的個數，則該向量組是線性相關的
2樓：茅巨集富姓一
書本上之所以只談論不同特徵值的特徵向量線形無關是因為：對於同一特徵值對應不同特徵向量的求法實質為求方程組基礎解系的問題，基礎解系最重要特點就是線性無關，編書人覺得這個是很自然的情況也就沒有單獨列出來
3樓：相樂心宦業
1.屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的
2.屬於同一特徵值的特徵向量,
是(a-λe)x=0
的基礎解系,
也是線性無關的
特徵值的個數怎麼判斷
4樓：兔老大米奇
特徵值的個數為n個 (重根按重數計)。
屬於某個特徵值的線性無關的特徵向量的個數 不超過這個特徵值的重數，若a可對角化, 則a的非零特徵值的個數 等於 r(a)。
例如：|xe-a| = x^2(x-1) =0 的解，就是 1,0,0。0 稱為2重特徵值。
n階矩陣最多有n個不同的特徵值。
矩陣可以有無數個特徵向量。
相同特徵值可以對應不同的特徵向量，不同特徵值一定對應不同的特徵向量。
設a是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式ax=λx成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣a特徵值，非零向量x稱為a的對應於特徵值λ的特徵向量。
式ax=λx也可寫成( a-λe)x=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式| a-λe|=0。
方陣的特徵值的個數 = 矩陣的階數
重根按重數計
如 3階方陣a,|a-ae| = (1-a)^2(2-a)
則a有特徵值 1,1,2。
擴充套件資料
方陣的秩大於等於非零特徵值的個數。
矩陣有特徵值必須是方陣，矩陣的秩是最高階非0子式。
n階矩陣必定有n個特徵值，(特徵值可能是虛數)，對於n階實對稱矩陣，不同特徵值的高數和矩陣的秩相等。
在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。
5樓：蓴灬叔
特徵值就是 |xe-a| = x^2(x-1) =0 的解就是 1,0,0
0 稱為2重特徵值；
特徵值的個數等於方陣的階數(重根按重數計)。
6樓：匿名使用者
特徵值就是 |xe-a| = x^2(x-1) =0 的解
就是 1,0,0
0 稱為2重特徵值
7樓：匿名使用者
特徵值是特徵多項式的幾重根就有幾個相同的呀
屬於同一個特徵值的特徵向量是線性相關的還是線性無關的?
8樓：小樂笑了
屬於同一個特徵值的特徵向
量，如果此特徵值相應的特徵矩陣的秩是n-1時，此時只有1個線性無關的特徵向量
從而此時屬於該特徵值的特徵向量，是線性相關的。
其餘情況，屬於同一個特徵值的特徵向量可能線性相關，也可能線性無關
同一個特徵值對應的特徵向量線性無關嗎？如果不一定，怎麼來區分他是線性無關還是線性相關呢？
9樓：匿名使用者
特徵向量是無窮多個的。問題不是這些特徵向量是否無關。而是r重特徵值，能否找到r個無關的特徵向量。
具體找的方法，就是解（λe-a）x=0。
如何證明一個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關，是不是很麻煩過程
10樓：天龍八部大結局
以兩個為例，顯然兩個向量線性相關意味著相差一個常數倍。
然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。
這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖
同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎
11樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。
12樓：匿名使用者
你好！提問不是很清楚，例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨一個特徵向量也是線性無關的。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
13樓：週三心盼
若a1,...,as 是a的屬於同一個特徵值的特徵向量則其非零線性組合 k1a1+...+ksas 也是a的屬於此特徵值的特徵向量
某個特徵值的全部特徵向量是對應齊次線性方程組的基礎解系的非零線性組合所以一般線性相關
證明同一個特徵值的特徵向量線性無關
14樓：禹希榮易辰
同一個特徵值對應的特徵向量是對應的線性方程組的基礎解系。基礎解系的向量之間顯然是線性無關的。
線性代數特徵值與特徵向量問題如圖
觀察行列式 e a 你就會發現所有的 的n 1次方項，係數都是對角線上的元素的相反數。合併後，的n 1次方係數就是主對角線元素的和的相反數。然後，任意一個 的n次多項式，一定可以轉化成 1 2 n 的形式，令其等於0，1 n就是根 在這裡就是特徵值 注意這裡面可能存在複數。你再觀察這個多項式裡的 的...
線性代數特徵值特徵向量問題求解,線性代數特徵值與特徵向量問題如圖？
根據特徵值和特徵向量的定義 ax x 顯然兩邊同乘以非零係數k kax k x a kx kx 可知，如果x是矩陣a對應特徵值 的特徵向量。那麼kx也是。所以你這裡，不過是k 1罷了。對的啊 答案把a1賦值1，a3就變 1 線性代數特徵值與特徵向量問題 如圖 20 觀察行列式 e a 你就會發現所有...
線性代數。求矩陣的特徵值與特徵向量
解出特徵值之後，再代入特徵方程，求出基礎解系，得到特徵向量，例如 線性代數，求特徵值和特徵向量 特徵值 2，3，3，特徵向量 1 0 1 t 3 0 2 t。解 e a 1 1 3 0 3 0 2 2 e a 3 1 3 2 e a 3 2 6 2 3 2 特徵值 2，3，3 對於 2，e a 3 ...