1樓：年翠花針妍
搜一下：設a是r³的線性變換，a(x,y,z)=(0,x,y),求a²值域和核
2樓：初培勝庚卯
(1)兩個子空間的和是直和只需要證明它們的交只有零向量.
設y∈ker(a)∩im(a),
則ay=
0且存在x使y
=ax.
∵a²=
a,∴y=ax
=a²x
=a(ax)=ay
=0.即ker(a)∩im(a)=,
二者的和為直和.
(2)充分性:
對x∈ker(a),ax=
0.∴a(bx)
=bax=0,
bx∈ker(a).
ker(a)是b的不變子空間.
而對y∈im(a),
存在x使y
=ax,
∴by=
bax=
a(bx)∈im(a).
im(a)也是b的不變子空間.
必要性:
ker(a)的維數為n-r(a),
im(a)的維數為r(a).
已證二者的和是直和,
於是v=
ker(a)+im(a).
對x∈ker(a),
有ax=
0,∴bax=0.
∵ker(a)是b的不變子空間,
∴bx∈ker(a),
∴abx=0
=bax.
而對y∈im(a),
存在x使y
=ax,
∴ay=
a²x=ax=
y,∴bay
=by.
∵im(a)是b的不變子空間,
∴存在z使by
=az,
∴aby
=a²z=az
=by=bay.
ab與ba在ker(a)和im(a)上的限制相等.
又∵v=
ker(a)+im(a),
∴在v上有ab
=ba.
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