1樓：匿名使用者
r(a)<=m 且 r(a)<=n, 即有 r(a)<=minr(a)=n
<=> a的列向量組線性無關
<=> ax=0 只有零解
r(a)=m
<=> a的行向量組線性無關
==> ax=b 有解
如何用秩判斷線性相關？ 線性代數問題
2樓：demon陌
設矩陣a為m*n階矩陣。矩陣a的秩為r，若r=n，則矩陣列向量組線性無關，若r相關。同理若r=m，則矩陣行向量組線性無關，若r向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說a線性相關; 若a≠0, 則說a線性無關。
包含零向量的任何向量組是線性相關的。含有相同向量的向量組必線性相關。增加向量的個數，不改變向量的相關性。(注意，原本的向量組是線性相關的)
3樓：aa微湖來客
由線性相關與線性無關的定義可知：向量組a1,a2,...,ar的線性相關性歸結為齊次線性方程組ax=0的解的情形，其中a＝(a1,a2,...
,ar)。若方程組只有零解，向量組線性無關；若方程組有非零解，則向量組線性相關。而ax=0只有零解歸結為r(a)=r，ax=0有非零解歸結為r(a)＜r，所以向量組的秩小於向量個數(也就是r(a)＜r)時，向量組線性相關。
對於非齊次線性方程組，r(a)=r(a,b)＜n(n是未知量個數)，則方程組有無窮多解，按說這個在課本上是有介紹的，用高斯消元法。相當於把方程組中的多餘方程去掉了，剩下的方程組中方程的個數小於未知量個數，所以未知量不會有唯一解。
若矩陣 a（m*n）的秩為n ，為何可等價於 其a的行向量組、列向量組線性無關？萬分感謝！
4樓：匿名使用者
只能等價於列向量組線性無關。
這是因為，矩陣的列向量組正好為n個，
秩為n說明極大無關組的個數為n，這n個只能是列向量本身了。
矩陣的秩和矩陣的特徵值個數的關係，並證明
5樓：dear豆小姐
關係：1、方陣a不滿秩等價於a有零特徵
值。2、a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
證明：定理1：n階方陣a可相似對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
定理2：設a為n階實對稱矩陣，則a必能相似對角化。
定理3：設a為n階實對稱矩陣，矩陣的秩r（a）=k，（0定理4：設a為n階方陣，矩陣的秩r（a）=k，（0定理5：
設a為n階方陣，矩陣的秩r（a）=k，（0定理6：設a為n階方陣，矩陣的秩rf（a）=k，（0例1：
設矩陣a=1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16 ，求矩陣a的特徵值，矩陣a的秩。
解：得到a→1 2 3 40 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ，則矩陣a的秩r（a）=1。
通過上例，我們發現λ=0為a的三重特徵值，而a的秩r（a）=4-3=1。下面的定理給出了相應的結論。
證：由定理2，實對稱矩陣必能相似對角化，因此a必有n個線性無關的特徵向量，即每一個特徵值對應一個線性無關的特徵向量，重根對應線性無關的特徵向量的個數等於其重數[1]，故由秩r（a）=k，（0以上例題和相關定理均給出了矩陣的秩得到矩陣的特徵值的情況，反過來，若n階方陣a恰有k（0所以，方陣a不滿秩等價於a有零特徵值，a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
擴充套件資料
矩陣的秩的變化規律及證明
1、轉置後秩不變
2、r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣
3、r(ka)=r(a),k不等於0
4、r(a)=0 <=> a=0
5、r(a+b)<=r(a)+r(b)
6、r(ab)<=min(r(a),r(b))
7、r(a)+r(b)-n<=r(ab)
證明：ab與n階單位矩陣en構造分塊矩陣
|ab o|
|o en|
a分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|ab a|
|0 en|
右邊兩塊矩陣分乘-b加到左邊兩塊矩陣,有
|0 a |
|-b en|
所以，r(ab)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(a)+r(b)
即r(a)+r(b)-n<=r(ab)
注：這裡的n指的是a的列數。這裡假定a是m×n matrix。
特別的：a:m*n,b:n*s,ab=0 -> r(a)+r(b)<=n
8、p,q為可逆矩陣, 則 r(pa)=r(a)=r(aq)=r(paq)
6樓：東風冷雪
矩陣有特徵值必須是方陣
矩陣的秩是最高階非0子式。
n階矩陣必定有n個特徵值，(特徵值可能是虛數)對於n階實對稱矩陣，不同特徵值的高數和矩陣的秩相等
7樓：perment之歌
最後一句應該改為：對於實對稱矩陣或可相似對角化的矩陣，其秩就是非零特徵值的個數
ax=0，a為m*n矩陣，m大於n，假設它的秩為n，那列向量線性無關，行向量也線性無關嗎，怎麼證明
8樓：匿名使用者
你好！m>n時，行向量一定線性相關。因為行向量的個數是m，維數是n，向量個數大於維數時一定線性相關。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
設a是m*n矩陣，a的秩為r(＜n)，則齊次線性方程ax=0的一個基礎解系中含有解的個數為___。
9樓：匿名使用者
因為bai r(a)=r
所以 ax=0 的基礎解系含du n-r 個解向量.
對ax=0 的任一zhi個解向量,都可由它dao的任意n-r個線性無關的解版向量線性表示
(否則這
權 n-r+1個解線性無關,與a的基礎解系含n-r個向量矛盾)所以 它的任意n-r個線性無關的解向量線性表示
矩陣的秩與線性無關特徵向量的個數的關係是什麼?謝謝！
10樓：一生一個乖雨飛
a的屬於特徵值λ的線性無關的特徵向量的個數是 齊次線性方程組 (a-λe)x=0 的基礎解系所含向量的個數 ,即 n-r(a-λe),r(a) 的取值,只能決定0是否特徵值。
擴充套件資料：
矩陣的秩變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣
(3)r(ka)=r(a),k不等於0
(4)r(a)=0 <=> a=0
(5)r(a+b)<=r(a)+r(b)
(6)r(ab)<=min(r(a),r(b))
(7)r(a)+r(b)-n<=r(ab)
證明：ab與n階單位矩陣en構造分塊矩陣
|ab o|
|o en|
a分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|ab a|
|0 en|
右邊兩塊矩陣分乘-b加到左邊兩塊矩陣,有
|0 a |
|-b en|
所以,r(ab)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(a)+r(b)
即r(a)+r(b)-n<=r(ab)
注：這裡的n指的是a的列數。這裡假定a是m×n matrix。
特別的：a:m*n,b:n*s,ab=0 -> r(a)+r(b)<=n
(8)p,q為可逆矩陣, 則 r(pa)=r(a)=r(aq)=r(paq)
11樓：手機使用者
n個線性無關特徵向量是相似於對角陣的充分必要條件，與秩沒有必然關係，圖中即是例子。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
關於線性代數問題。m個n維行向量,當n小於m時,是否線性相關，我想問的是行向量。。。
12樓：
不管是行向量還是列向量，當向量組中向量的維數小於向量的個數時，向量組一定線性相關。所以，
m個n維行向量,當n小於m時,是否線性相關？ 一定線性相關！
因為這m個行向量構成一個m×n矩陣，它的秩≤n＜m，向量組的秩小於向量的個數，所以向量組線性相關。如果要考慮齊次線性方程組，形式是xa=0，如果不習慣，可以轉置後變成a'x=0，方程個數小於未知量個數，方程組有非零解。
問題討論 矩陣的行、列向量組線性相關性之間的等價關係
13樓：紫濤雲帆
① 若m＞n，則a的行向量組線性相關，但a的列向量組未必線性相關，條件取決於a的秩是否小於n，若r(a)＜n，則a的列向量組線性相關，若r(a)=n，則a的列向量組線性無關，請看下面的例子：
1 2
1 2
1 2
這是一個3×2矩陣a，r(a)=1＜2，它的行向量組線性相關，列向量組也線性相關，再看：
1 2
1 2
1 3
這是一個3×2矩陣a，r(a)=2，它的行向量組線性相關，列向量組線性無關！
② 若m≤n，則當a的行向量組線性相關時，它的列向量組必然也是線性相關的。
證明：a的行向量組線性相關
→ r(a)＜m，又m≤n
→ r(a)＜n
→ a的列向量組線性相關
所謂當a為n階方陣時，即m=n時，適用②的結論：當a的行向量組線性相關時，它的列向量組必然也是線性相關的!
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