1樓：匿名使用者
1.圓的定義
圓的定義有兩個：
其一：平面上到定點 的距離等於定長的所有點所組成的圖形叫圓。
其二：平面上一條線段，繞它固定的一個端點o旋轉360°，它的另一端留下的軌跡叫圓。
2.圓的其他相關量
①圓心與半徑：（如定義）固定的端點o即為圓心，用字母 來表示，記作⊙o；定義中的定長即為半徑，用字母r表示；
②弦與直徑：連線圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓中最長的弦為直徑；
③圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧；
④圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角；
⑤等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。
3.垂徑定理及其推論
①定理如果圓的一條直徑垂直於一條弦，那麼這條直徑平分這條弦，並且平分這條弦所對的兩條弧。
②推論（四條）
推論一：平分弦(不是直徑)的直徑垂直於這條弦，並且平分這條弦所對的兩條弧；
推論二：弦的垂直平分線經過圓心，並且平分這條弦所對的兩條弧；
推論三：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦，並且平分這條弦所對的另一條弧
推論四：在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。
4.圓心角與圓周角
（1）定義
①圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角；
②圓周角：頂點在圓上，且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
（2）定理及推論
①圓心角
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。
推論一：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等；
推論二：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等。
②圓周角
定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半。
推論一：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；
推論二：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等；
推論三：圓內接四邊形的對角互補。
5.點與圓的位置關係
（1）點和圓的位置關係
點和圓的位置關係相對較為簡單，可分為三種情況：圓內、圓上和圓外。
一般情況下，判斷點和圓的位置關係，以點到圓心的距離和圓半徑之間的大小為依據，假設⊙o的半徑為r，點p到圓心o的距離為d，則點p與⊙o的位置關係可表示如下：
點p 在⊙o 外 等價於d ＞r
點p 在⊙o 上 等價於d ＝r
點p 在⊙o 內 等價於d ＜r
（2）不在同一直線上的三個點確定一個圓
不在同一直線上的三個點確定一個圓。根據這一定理，我們可以經過任意三角形的三個頂點做一個圓，這個圓就叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做該三角形的外心。
（3）反證法
不是直接從命題的已知得出結論，而是假設命題的結論不成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立。這種證明方法就叫做反證法。
6.直線與圓的位置關係
直線與圓的位置關係可分為三種：相交、相切和相離，詳述如下：
（1）相交
直線和圓有兩個公共點，則直線與圓相交，這條直線叫做圓的割線。
（2）相切
直線和圓只有一個公共點，則直線與圓相切，該直線叫做圓的切線，該公共點叫做切點。
（3）相離
即直線和圓沒有公共點。
假設⊙o 的半徑為r ，直線l 到圓心o 的距離為d ，根據上述定義，可以得到：
直線l 和⊙o 相交 等價於d ＜r
直線l 和⊙o 相切 等價於d ＝r
直線l 和⊙o 相離 等價於d ＞r
7.關於切線的定理
（1）切線的定義
如果一條直線和圓只有一個公共點，那麼這條直線和圓相切，直線就叫做圓的切線，公共點即為切點。
（2）切線判定定理
經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
（3）切線性質定理
圓的切線垂直於過切點的半徑。
（4）切線長
經過圓外一點做圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。
（5）切線長定理
從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
8.三角形內切圓
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心。另外還需知道一點，即三角形的內心到三角形三邊的距離相等，也就是三角形內切圓半徑。
9.圓與圓的位置關係
圓與圓的位置關係主要可分為三種：相離、相切和相交，分述如下：
（1）相離
如果兩個圓沒有公共點，那麼就說這兩個圓相離；相離又分為外離和內含，兩圓內含有一種特殊情況即兩圓同心。
（2）相切
如果兩個圓只有一個公共點，那麼就說這兩個圓相切；相切又可分為外切和內切。
（3）相交
兩圓相交較為簡單，即如果兩個圓有兩個公共點，那麼就說這兩個圓相交。
10.正多邊形和圓
我們先來溫習一下什麼是正多邊形——各邊相等、各角也相等的多邊形，我們稱之為正多邊形。
正多邊形和圓的關係非常密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。
一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
11.弧長和扇形的面積（一些特殊符號不好輸入，只好截圖了）
12.圓錐的側面積
要學習圓錐的相關面積的計算，先要了解一個概念——圓錐的母線：我們把連線圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。同一圓錐所有母線都相等。
沿一條母線將圓錐側面剪開並展平，可以得到，圓錐的側面圖是一個扇形，而母線即為該扇形的半徑，圓錐底面圓的周長為圓錐側面後的扇形對應的弧長。
在上一期已經學習了扇形的面積與弧長的關係，即 ，有了這一關係式，關於圓錐的的側面積及全面積的一些列計算將迎刃而解。
向左轉|向右轉
2樓：匿名使用者
⑴圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。
圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。逆定理：
平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的2條弧。
⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。 直徑所對的圓周角是直角。
90度的圓周角所對的弦是直徑。
⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理
①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；
②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。
③s三角=1/2*△三角形周長*內切圓半徑
④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段）
〖有關切線的性質和定理〗
圓的切線垂直於過切點的半徑；經過半徑的一端，並且垂直於這條半徑的直線，是這個圓的切線。
切線判定定理：經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質：（1）經過切點垂直於這條半徑的直線是圓的切線。（2）經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。（3）圓的切線垂直於經過切點的半徑。
切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。
〖有關圓的計算公式〗
1.圓的周長c=2πr=πd 2.圓的面積s=πr^2; 3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積s=nπr^2;/360=rl/2 5.圓錐側面積s=πrl
網上找的，總結麻煩煩
3樓：匿名使用者
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九年級數學圓這一章的全部知識點
4樓：匿名使用者
第四章：《圓》
一、知識回顧
圓的周長： c=2πr或c=πd 、圓的面積：s=πr²圓環面積計
算方法：s=πr² -πr²或s=π（r² - r²）(r是大圓半徑，r是小圓半徑）
三、知識要點
一、圓的概念
集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念：
1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
固定的端點o為圓心。連線圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。
2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內 點在圓內；
2、點在圓上 點在圓上；
3、點在圓外 點在圓外；
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離 無交點；
2、直線與圓相切 有一個交點；
3、直線與圓相交 有兩個交點；
四、圓與圓的位置關係
外離（圖1） 無交點 ；
外切（圖2） 有一個交點 ；
相交（圖3） 有兩個交點 ；
內切（圖4） 有一個交點 ；
內含（圖5）
無交點；五、垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑 ②
③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧六、圓心角定理
頂點到圓心的角，叫圓心角。
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，
只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圓周角定理
頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角
∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑 或∵
∴ ∴是直徑
推論3：若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中，
∵四邊形是內接四邊形
∴ 九、切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端
∴是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後一個。
十、切線長定理
切線長定理：
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線∴平分
十一、圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
∴（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑，
∴（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線
∴ （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線∴十
二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點
∴垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
十四、圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在中進行，：
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在中進行，.
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式
1、扇形：（1）弧長公式：；
（2）扇形面積公式：
：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積
2、圓柱：
（1）a圓柱側面圖
=b圓柱的體積：
（2）a圓錐側面圖
=b圓錐的體積：
求解一道九年級數學難題，關於三角形 圓的知識綜合題，求詳細的解答過程？感謝
用好de dc。連線bd，ob是 p的直徑，bd ce，de dc，bc be，bec c，dbf 1 2 ebc，ob oc，c obc，obc bce，ebc boc，dbf 1 2 dpf 同弧df所對的圓周角是圓心角的一半 dpf ebc boc，pd pf，pd ob pf oc，dpf ...
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