1樓：巨樂康
一個整數的平方最後一位只有0、1、4、9、6、5幾種情況
最後一位再平方所得最後一位數：0、1、6、5
可換算為5k或5k+1
2樓：s今生緣
整數可分為能被5整除和不能被5整除兩種，從而可設為5n、5n±1、5n±2（n為整數）幾種情況。
再對以上幾種情況，用四次方：
(5n)⁴=625n⁴，肯定能被5整除，可表示為5k形式，(5n±1)⁴=(25n²±10n+1)²=25(5n²±2)²+10(5n²±2)+1=5[5(5n²±2)²+2(5n²±2)]+1，可表示為5k+1形式，
(5n±2)⁴=(25n²±20n+4)²=25(5n²±4)²+40(5n²±4)+16=5[5(5n²±4)²+8(5n²±4)+3]+1，可表示為5k+1形式。
3樓：
將所有整數分成5組
5n , 5n+1 , 5n-1 , 5n+2 , 5n-2首先，5n 的四次方等於 625n⁴ ，當然是5的整倍數，即 5k 的形式
其次是 （5n±1） 的四次方
（5n±1）⁴
= [ (5n±1)² ]²
= [ 25n² ± 10n + 1 ]²= [ 5(5n² ± 2n) + 1 ]²= [ 5m + 1 ]² ——令 m=5n²±2n= 25m² + 10m + 1
= 5(5m²+2m) + 1
= 5k+1 ——令 k=5m²+2m符合題意中的 5k+1 形式
最後是 （5n±2） 的四次方
（5n±2）⁴
= [ (5n±2)² ]²
= [ 25n² ± 20n + 4 ]²= [ 5(5n² ± 4n) + 4 ]²= [ 5m + 4 ]² ——令 m=5n²±4n= 25m² + 40m + 16
= 5(5m²+8m + 3) + 1
= 5k+1 ——令 k=5m²+8m+3也符合題意中的 5k+1 形式
如何判斷一個數是完全平方數
4樓：匿名使用者
對於一個比較大的整數，比如：23916，一共有5位數字，假設它是完全平方數，那麼它的平方根應該是一個3位數，因為100的平方是最小的5位數。
同時，這個平方根應該小於200，因為200的平方是40000比原數大。取箇中間數150，因為已知15的平方是225，所以很容易算出150的平方是22500，比原數小。
同理，算出160的平方是25600，比原數大。所以，如果24346時一個完全平方數，它的平方根應該大於150且小於160。完全平方數，凡是個位為6的，其平方根個位必為4或6。
計算154的完全平方，等於 23716 比 23916 小200，計算156的完全平方，等於 24336 比 23916 大420，所以23916不是完全平方數。
擴充套件資料
應用：有多少個正整數n，使n!+2019是完全平方數，注：n!=1*2*…*n,即n的階乘。
講解思路：這道題屬於完全平方數問題，要判斷一個數是完全平方數，除了嚴格驗證外，目前還沒有完善的方法。但要判斷一個數不是完全平方數，有很多種性質可以用，
這裡採用除以4的餘數來判別。由於n!具有十分特別的性質，因此總的解題思路是：先判斷當n>=4時的情況，然後對n<4時的3個數逐一驗證。
步驟1：
先思考第一個問題，
當n大於等於4時，
n!+2019除以4的餘數是多少。
此時n!=1*2*3*4…*n,
故n!是4的整數倍，
而2019除以4的餘數是3，
因此n!+2019除以4的餘數是3。
步驟2：
再思考第二個問題，
當n大於等於4時，
n!+2019可能是完全平方數嗎。
此時n!+2019是奇數，
如果它是完全平方數，
則存在某自然數k，
使n!+2019=(2k+1)^2
=4k^2+4k+1,
顯然該數除以4的餘數為1，
這與步驟1的結論想矛盾，
因此不是完全平方數。
注：k^2表示k的平方。
步驟3：
再思考第三個問題，
考慮原題目的答案。
從步驟2直到n小於4，
下面對n=1,2,3分別討論：
當n=1時，
n!+2019=2020不是完全平方數；
當n=2時，
n!+2019=2021不是完全平方數；
當n=3時，
n!+2019=2025=45^2，
是完全平方數。
所以原題的答案只有n=3。
5樓：史談歷史
完全平方數？
首先，背下1-20的平方數，因為常用。
然後牢記以下規律：
完全平方數，凡是個位為0的，其平方根個位必為0
完全平方數，凡是個位為1的，其平方根個位必為1或9
完全平方數，凡是個位為4的，其平方根個位必為2或8
完全平方數，凡是個位為5的，其平方根個位必為5
完全平方數，凡是個位為6的，其平方根個位必為4或6
完全平方數，凡是個位為9的，其平方根個位必為3或7
然後，對於一個比較大的整數，比如：23916
一共有5位數字，假設它是完全平方數，那麼它的平方根應該是一個3位數，因為100的平方是最小的5位數。
同時，這個平方根應該小於200，因為200的平方是40000比原數大。
我們不妨取箇中間數150，因為已知15的平方是225（你背了），所以很容易算出150的平方是22500，比原數小。
同理，算出160的平方是25600，比原數大。
所以，如果24346時一個完全平方數，它的平方根應該大於150且小於160。
完全平方數，凡是個位為6的，其平方根個位必為4或6。
計算154的完全平方，等於 23716 比 23916 小200，
計算156的完全平方，等於 24336 比 23916 大420，
所以23916不是完全平方數。
對於一個位數較多的小數，比如：2.4336，2.43360和24.336.
小數點後位數為單數且「最後一位不為0」的數，一定不是完全平方數；小數點後位數為偶數的數，可能是完全平方數，比如：24.336小數點後位數為3，一定不是完全平方數；
但2.43360小數點後位數為5，卻可能是完全平方數；
2.4336小數點後位數為4，可能是完全平方數。
判斷一個小數是不是完全平方數比較常用的方法是「百倍擴大」也叫「移位法」，即把原數小數點向右移動「雙數」位，直至小數變為整數，計算新整數的平方根，再把小數點按「百倍擴大」的次數移回，如：2.4336 小數點向右移動4位（兩次「百倍擴大」）變為24336，計算24336的平方根（156），小數點左移兩位（1.
56）即為2.4336的平方根。
分數，只要
分子分母都是完全平方數，這個分數就是完全平方數，反之，只要有一個不是，這個分數就不是完全平方數。
6樓：匿名使用者
完全平方即用
一個整數乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此類推。若一個數能表示成某個數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數。完全平方數是非負數。
而一個完全平方數的項有兩個。注意不要與完全平方式所混淆。
例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質:
性質1:末位數只能是0,1,4,5,6,9。
(此為完全平方數的必要不充分條件，且定義為"一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數"，0為整數，故0是完全平方數)
性質2:奇數的平方的個位數字一定是奇數，偶數的平方的個位數一定是偶數。
證明 奇數必為下列五種形式之一:
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分別平方後，得
綜上各種情形可知:奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9;十位數字為偶數。
性質3:如果十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6;反之也成立
證明 已知
，證明k為奇數。因為k的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則或即
或∴ k為奇數。
推論1:如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2:如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
性質4:偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1。
這是因為
性質5:奇數的平方是8n+1型;偶數的平方為8n或8n+4型。
(奇數:n比那個所乘的數-1;偶數:奇數:n比那個所乘的數-2)
在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到 是8n+1型的數;由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。
性質6:形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。
因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類:3m,3m+1,3m+2。平方後，分別得
同理可以得到:
性質7:不是5的因數或倍數的數的平方為5k+-1型，是5的因數或倍數的數為5k型。
性質8:形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加:
1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題:
一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為，則
1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質:
性質9:數字之和只能是0,1,4,7,9。
證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4這幾種形式，而
除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質:
性質10:為完全平方數的充分必要條件是b為完全平方數。
證明 充分性:設b為平方數，則=(ac)
必要性:若為完全平方數，=，則
性質11:如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。
證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12:在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數。
即若則k一定不是整數。
性質13:一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。
x為正整數取何值時x的四次方x的平方1答案為質數
解 s x 4 x 2 1 x 4 2x 2 1 x 2 配方 x 2 1 2 x 2 分解因式 x 2 x 1 x 2 x 1 當x 1時 s 1 1 1 1 1 1 3 1 3 此時s只有兩個因數1和3，它為一個質數 當x 2時 s 4 2 1 4 2 1 7 3 21 合數 當x 3時 s 9...
三的四次方的相反數怎麼表示,3的4次方與4個3相乘的相反數有什麼不同
三的四次方的相反數 3 4 81 x的 1次方 四次根號下3 3 的4次方與4個3相乘的相反數有什麼不同?4個3相乘的相反數就是 3 的4次方的相反數 3 的4次方與4個3相乘的相反數互為相反數 3 x 3 x 3 x 3 81 3 x 3 x 3 x 3 81,相反數就是 81 不同 一個是正數，...
已知的平方加等於1求的四次方加的三次方減
x的平方加x x x 1 1 x 4xx x 2015 x 1 4xx x 2015 xx 4xx x 2015 3xx x 2015 2015 2xx xx x 2015 2xx x x 1 2014 2xx 2x的二次方 你確定不是2x或則是x 已知x的平方加4x減1等於0，求2x的四次方加8x...