1樓：匿名使用者
1/1×2+1/2×3+...+1/n(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)後面沒有"+2"
當n=1時左側=1/2=右側
假設n=k時,等式成立
在n=k+1時等式左側=n/(n+1)+1/(n+1)（n+2）=（n²+2n+1）/(n+1)（n+2）=（n=1）²/(n+1)（n+2）=(n+1)/（n+2）=右側，也成立。
2樓：匿名使用者
當n=1時
左邊=1/(1×2)=1/2，右邊=1/(1+1)=1/2左邊=右邊，
命題成立。
假設n=k時,命題成立，則
1/1×2+1/2×3+...+1/k(k+1)=k/(k+1)當n=k+1時
∴1/1×2+1/2×3+...+1/[(k+1)(k+2)]=1/1×2+1/2×3+...+1/[k(k+1)]+1/[(k+1)(k+2)]
=k/(k+1)+1/[(k+1)(k+2)]=[k(k+2)+1]/[(k+1)(k+2)]=(k²+2k+1)/[(k+1)(k+2)]=(k+1)²/[(k+1)(k+2)]
=(k+1)/(k+2)
綜上所述，命題成立。
觀察規律 1/1×2=1-1/2，1/2×3=1/2-1/3，1/3×4=1/3-1/4 求和1/1×2+1/2×3+1/3×4+....+1/2009×2010
3樓：手機使用者
解：（1）
由1/(1×2)=(1/1)-(1/2)；
1/(2×3)=(1/2)-(1/3)；
1/(3×4)=(1/3)-(1/4)；
從上可以看出，等式左邊可以拆成二個分母組成的分式之差，分子都為1,分母分別為為n和n+1
1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]
（2）證明：
等式右邊=(1/n)-[1/(n+1)]
=(n+1)/[n(n+1)]-n/[n(n+1)]
=(n+1-n)/[n(n+1)]
=1/[n(n+1)]
=左邊所以等式成立
（3）求和：觀察後可以發現好多項可以相互抵消
1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/(2009×2010)
=1+(-1/2+1/2)+(-1/3+1/3)+(-1/4+-------+1/2008+(-1/2009+1/2009)-1/2010
=1-1/2010
=2009/2010
4樓：匿名使用者
分數裂項題：
1/1×2+1/2×3+1/3×4+....+1/2009×2010＝1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2009-1/2010
=1-1/2010
=2009/2010
5樓：匿名使用者
將1/1×2=1-1/2，1/2×3=1/2-1/3，1/3×4=1/3-1/4排成一列相加可知，剩餘第一項跟最後一項，所以
1/1×2+1/2×3+1/3×4+....+1/2009×2010=1-1/2010=2009/2010
用數學歸納法證明：1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n
6樓：匿名使用者
證明：1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n (n>=2,n屬於n*)
1）1+1/2^2=5/4 < 3/2
2) 設：1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k,
1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2<(2k-1)/k+1/(k+1)^2
=(2k^3+4k^2+2k-k^2-2k-1+k)/k(k+1)^2
=2-(k-1)/k(k+1)<[2(k+1)-1]/(k+1)
也就是如果n=k時成立能推出n=k+1也成立
所以，1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n
7樓：匿名使用者
應該有說明n≥2吧？
證明：①n=2時，1/1^2+1/2^2=5/4 ＜ (2×2-1)/2=3/2 成立；
②假設n=k(k≥2)時，1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k 成立；
則：n=k+1時，
1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<(2k-1)/k + 1/(k+1)^2
=(2k-1)(k+1) / [k(k+1)] + 1/(k+1)^2
＜(2k-1)(k+1) / [k(k+1)] + 1 / [k(k+1)]
=[(2k-1)(k+1)+1]/ [k(k+1)]
=k(2k+1) / [k(k+1)]
=(2k+1) / (k+1)
=[2(k+1)-1 ] / (k+1) 成立 ；
∴綜上：1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n （n≥2）
8樓：匿名使用者
不是小於等於號嗎？因為當n=1時它不成立啊！
用數學歸納法證明：1＋2＋3＋……n＝n（n＋1）／2
9樓：匿名使用者
我寫的簡練點，主要步驟
n=1時，左邊=右邊=1
設n=k時，左邊=右邊
即1+2+3+……版+k=k（k+1）/2那麼當n=k+1時
左邊=1+2+3+……+k+（k+1）=k（k+1）/2+（k+1）————上式代入權
=[k（k+1)+2(k+1)]/2——通分=（k+1）（k+2）/2——分子提出（k+1）
=/2=右邊————寫成要證明的形式
因此：1＋2＋3＋……n＝n（n＋1）／2
10樓：匿名使用者
證：n=1時，左bai=1 右=1(1+2)/2=1假設du
當n=k(k為自然數，且k≥zhi1)時，1+2+...+k=k(k+1)/2
則當n=k+1時
1+2+...+k+k+1
=k(k+1)/2+(k+1)
=(k^dao2+k+2k+2)/2
=(k^2+3k+2)/2
=(k+1)(k+2)/2
=(k+1)[(k+1)+1]/2
等式同專樣成立。屬
綜上，1+2+3+…+n=n(n+1)／2
11樓：匿名使用者
（1）當n＝1時，原式左邊＝右邊，成立
（2）假設當k ＝n 時，等式成立，有回：1＋2 ＋3 ＋……答…＋n ＝n（n ＋1） ÷2成立。
（3）當k ＝n ＋1時，有n ×（n ＋1）／2＋n＋1＝｛n （n ＋1）＋2×（n ＋1）｝／2＝（n＋1） （n ＋2）／2所以，等式成立
12樓：匿名使用者
先證n=1 在假設n=k成立得到1＋2＋3＋……k＝k（k＋1）／2 在假設n=k+1 把上面的式子帶進去..1＋2＋3＋……k+k+1＝k（k＋1）／2+k+1 在等於
（k＋1）（k＋2）／2
13樓：匿名使用者
褰搉=1鏃剁瓑寮忔垚絝
14樓：
解：抄1）當n=1時1+2=3=2（2+1）/2,命題成立2)假設1+2+3+....(n-1)=(n-1)[(n-1)+1]/2則
1+2+3+....n=)=(n-1))[(n-1)+1]/2 +n=(n-1)n/2 +n
=n(n+1)/2
滿足，則證明1＋2＋3＋……n＝n（n＋1）／2
15樓：匿名使用者
1，當來n=1時命題成立源
2，設n=k是成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2當n=k+1是，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2
所以n=k+1時命題成立
綜上1，2
所以1+2+3+。。。+n=n（n+1)/2
16樓：談開羊舌枝
更正下1+2+...+n=n×(n+1)×1/2
1. n=1時，等式成立
2. 假設n=k時等式成立，即1+2+...+k=k×(k+1)×1/2
3. 當n=k+1時有回, 1+2+...+k+(k+1) = k×(k+1)×1/2+(k+1)
1+2+...+k+(k+1) = k×(k+1)×1/2+2(k+1)/2 作通分
1+2+...+k+(k+1) = (k+2)×(k+1)×1/2 作合併
1+2+...+k+(k+1) = (k+1)×[(k+1)+1]×1/2 作變形（使其
答符合2）
由此可知n為任意數均成立
17樓：大忍忻海
n=1時，復1=1/2*1*（1+1）製成立當n=k-1時成立bai，du即1+2+3+……zhi+（k-1）dao=1/2*（k-1）*（k-1+1）當n=k時，1+2+3+……+k=1/2*（k-1）*（k-1+1）+k=1/2*（k-1）*k+k=1/2*（k+1）*k，成立
故無論n為何值，1+2+3+……+n=1/2*n*（n+1）都成立不懂請追問
18樓：但獻中飛柏
當n=1時，
1=1（1+1）/2=1（命copy題成立）假設當n=k（k>=1，k為自然數）時成立1+2+3+。。。+k=k（k+1）/2
成立則當n=k+1時
1+2+3+。。。+k+（k+1）
=k（k+1）/2
+（k+1）
=[k（k+1）+2（k+1）]/2
=[（k平方+2k+1）+（k+1）]/2=（k+1）（k+1）平方/2
所以：當n=k+1時，命題成立
所以1＋2＋3＋……＋n＝2分之n（n＋1）成立
1/1*2+1/2*3+......+1/n(n+1)值為多少
19樓：匿名使用者
1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[n(n+1)]=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1) 中間都消掉了
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
20樓：匿名使用者
裂項法1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)
21樓：匿名使用者
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+......+（1/n-1/（n+1））
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......1/n-1/（n+1）
=1-1/（n+1）
=n/(n+1)
22樓：真心話啊
1+2+3.......+n=（n+1）n/2解題過程：
1+2+3+4+5......+n
=（n+1）+（2+n-1）+（3+n-2）+……（n/2+n/2+1）【首尾相加】
=（n+1）n/2【首尾相加得到的數相等,此時共有n/2個組合,因此結果為其乘積】
這是典型的等差數列求和公式，等差數列是常見數列的一種，可以用ap表示，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
等差數列求和公式（字母）：
判定級數 n 11）n（n 1n n 1是否收斂是絕對收斂還是條件收斂
題目不明確，應為 1 n n 1 n n 1 吧！lim 版 a a lim n 2 n n 1 n 1 n n 1 lim n 2 n n 1 n 1 n lim n 2 n 1 lim n n 1 n 1 1 lim n 1 n 1 e lim n 1 n 1 e lim 1 1 n 1 1 n...
交錯級數1nn1n的斂散性
是 1 n n 1 n 2 這個級數不？在交錯級數中，常用萊布尼茨判別法來判斷級數的收斂性，即若交錯級數各項的絕對值單調遞減且極限是零，則該級數收斂 如果是上述級數，則有 絕對值n 1 n 2 單調遞減，且極限為零於是這個級數收斂 交錯級數 1 n 2n n 2 1 的斂散性，如果收斂，是絕對收斂還...
求一道極限題lima1nb1nn
先考慮極限lim x 0 a x b x 2 1 x 取對數，1 x ln a x b x 2 ln a x b x 2 ln 1 a x 1 b x 1 2 等價於 a x 1 b x 1 2 lim x 0 1 x ln a x b x 2 lim x 0 1 x a x 1 b x 1 2 l...