1樓：
設球的半徑為r，圓：x²+y²=r², ∴ x² = (r² - y²)
切片面積: a = π x²
切片體積:δv = a * δy，∴ δv = π x² δy，綜上：δv = π (r² - y²) δyv = ∫ dy
v = π ∫ (提出常數)
v = 2π∫ (-r到0 和 0到r 對稱)v = 2π [y*r² - y³/3] <0,r>v = 2π (極限代入y)
v = 2π
∴ v = 4/3 π r³
微積分是高等數學中研究函式的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。
微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函式、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。
微分學的主要內容包括：極限理論、導數、微分等。
積分學的主要內容包括：定積分、不定積分等。
2樓：匿名使用者
幾何積分過程分下面這三個步驟（截圖來自湯家鳳老師的高數課程）：
1、取出微變數元素及對應變數的範圍，如上面函式f(x),變數是x，微變數元素為dx（趨於零，沒有量變，是理想的）
2、找出微積量元素（微小的面積或體積、路程之類的）如上面的小矩形體積為f(x)*dx（沒有量變，也是理想的）
3、對微積量元素進行積分，產生了量變。
對球積分，只要先積分右半個球再乘以2
如上圖展示半徑為r的球中心截面，右半球可以由從y軸開始垂直於x軸的多個微圓柱體 體積 積分而來(因為dx是沒有量變的，可以理解x到x+dx的截面為一個圓柱，圓的半徑為rx，高為dx)。圓柱的面積f(x) = pi*rx^2 = pi*(r^2-x^2)
1、可以設某個圓柱體離y軸的距離為x，則微變數元素為dx。
2、每個小圓柱的微體積元素為 da = pi*rx^2 dx = pi*(r^2-x^2) dx，（注意被積的是圓柱型的元素，是垂直於x軸的球的切片，上面的圖中並沒有顯示出來，需要想象一下）
3、則右半球的體積為∫[0,r]pi*(r^2-x^2)dx = pi*r^2|[0,r] - pi*(1/3)*x^3|[0,r] = (2/3)*pi*r^3
則整個球的體積為(4/3)*pi*r^3
如何用微積分知識推導球的體積公式？ 10
3樓：娛樂大潮咖
1、disk method——圓盤法：
2、shell method——球殼法：
3、general method——一般法：
擴充套件資料：
微積分相關：
（1）定積分和不定積分
積分是微分的逆運算，即知道了函式的導函式，反求原函式。在應用上，定積分作用不僅如此，它被大量應用於求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。
一個函式的不定積分（亦稱原函式）指另一族函式，這一族函式的導函式恰為前一函式。
其中：一個實變函式在區間[a,b]上的定積分，是一個實數。它等於該函式的一個原函式在b的值減去在a的值。
定積分和不定積分的定義迥然不同，定積分是求圖形的面積，即是求微元元素的累加和，而不定積分則是求其原函式，而牛頓和萊布尼茨則使兩者產生了緊密的聯絡（詳見牛頓-萊布尼茨公式）。
（2）常微分方程與偏微分方程
含自變數、未知函式和它的微商（或偏微商）的方程稱為常（或偏）微分方程。未知函式為一元函式的微分方程，稱為常微分方程。未知函式為多元函，從而出現多元函式的偏導數的方程，稱為偏微分方程。
4樓：匿名使用者
你可以把球看成是由無數個球殼組成的，每個球殼的面積為4派r的平方，將面積函式積分就是體積了，積分限為0到r。
5樓：安克魯
樓主等一會，給你三種詳細推導(證明)方法，給你做個**。
不好意思，電腦出了點問題，現在才能將**傳上。幾分鐘後即可見到。
球的體積微積分推導。具體一點。。我是初學者。。
6樓：
設球的半徑為r，圓：x²+y²=r², ∴ x² = (r² - y²)
切片面積: a = π x²
切片體積:δv = a * δy，∴ δv = π x² δy，綜上：δv = π (r² - y²) δyv = ∫ dy
v = π ∫ (提出常數)
v = 2π∫ (-r到0 和 0到r 對稱)v = 2π [y*r² - y³/3] <0,r>v = 2π (極限代入y)
v = 2π
∴ v = 4/3 π r³
微積分是高等數學中研究函式的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。
微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函式、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。
微分學的主要內容包括：極限理論、導數、微分等。
積分學的主要內容包括：定積分、不定積分等。
7樓：匿名使用者
就用最簡單的定積分推導一下半球的體積：
球體的體積計算公式微積分推導
8樓：匿名使用者
圓：x²+y²=r², (注意，r為常數）x² = (r² - y²) ——— [1]
切片面積: a = π x² ——— [2]切片體積:
用[2]的結果
δv = a * δy
δv = π x² δy， 用[1]的結果δv = π (r² - y²) δy
v = ∫ dy
v = π ∫ (提出常數)
v = 2π∫ (-r到0 和 0到r 對稱)v = 2π [y*r² - y³/3] <0,r>v = 2π (極限代入y)
v = 2π
v = 4/3 π r³
有問題再問我。
怎麼用微積分證明球的表面積和體積公式？
9樓：曼諾諾曼
解：設球半抄徑為a，圓心位於原點襲，則其上半部的方程為z＝（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5．
dz／dx＝－x／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5，dz／dy＝－y／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5．由此得，球體表面積為：a＝2∫∫（d）a／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5dρ。其餘部分詳見圖。
擴充套件資料
極限理論
十七世紀以來，微積分的概念和技巧不斷擴充套件並被廣泛應用來解決天文學、物理學中的各種實際問題，取得了巨大的成就。但直到十九世紀以前，在微積分的發展過程中，其數學分析的嚴密性問題一直沒有得到解決。
十八世紀中，包括牛頓和萊布尼茲在內的許多大數學家都覺察到這一問題並對這個問題作了努力，但都沒有成功地解決這個問題。
整個十八世紀，微積分的基礎是混亂和不清楚的，許多英國數學家也許是由於仍然為古希臘的幾何所束縛，因而懷疑微積分的全部工作。這個問題一直到十九世紀下半葉才由法國數學家柯西得到了完整的解決，柯西極限存在準則使得微積分注入了嚴密性，這就是極限理論的創立。
極限理論的創立使得微積分從此建立在一個嚴密的分析基礎之上，它也為20世紀數學的發展奠定了基礎。
10樓：匿名使用者
^^設半徑為來r，
則某個大圓的半自圓方程式為y=√(r^bai2-x^2)，所以表面積是du∫zhi(-r→r)2πy√(1+y'^2)dx=∫(-r→r)2π√dao(r^2-x^2)√(1+(1/2*(-2x)/√(r^2-x^2))^2)dx=∫(-r→r)2πrdx=2πrx|(-r→r)=4πr^2
體積是∫(-r→r)πy^2dx=∫(-r→r)π(r^2-x^2)dx=πr^2x|(-r→r)-1/3πx^3|(-r→r)=2πr^3-2/3πr^3=4/3πr^3
11樓：安克魯
下圖提供，六種球面面積積分法，八種體積積分法。
方法尚有很多，這裡只能拋磚引玉。
點選放大、再點選再放大：
12樓：鋼版氜穿
設球的半徑復為r,球截面圓制到球心的距離為x則球截面圓的
bai半徑為√
du(r^2-x^2)
以x作球截面圓的面zhi積函dao數再對其積分就是半球的體積有dv=2(2(pi)(r^2-x^2))對其在[0,r]積分可得v=(4/3)(pi)(r^3)這個函式積分很簡單就不寫過程了.
球面積相對複雜點(在積分方面)
思想還是一樣
對球截面圓的周長函式積分可得球表面積
照上面,球截面圓的周長函式為2(pi)√(r^2-x^2)對x進行[0,r]積分得到半球表面積
即ds=4(pi)√(r^2-x^2)
對ds積分,設x=r(sin t),t=[0,pi/2]則ds=4(pi)r(cos t)√(r^2-(r(sin t))^2) dt
=4(pi)(r^2)(cos t)^2 dt=2(pi)(r^2)+(2(pi)(r^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
則解2(pi)(r^2)(sin 2t) dt積分有2(pi)(r^2)
即得s=4(pi)(r^2)
如何用微積分知識推導球的體積公式
13樓：匿名使用者
以球心為座標原點建立直角座標系
那麼球可以看成是上半圓y=√(r²-x²)繞x軸旋轉一週所得.
於是v=∫[-r,r]πy²dx
=2π∫[0,r](r²-x²)dx
=2πr²(r-0)-2π(r³-0)/3=4πr³/3
14樓：廣州力撲
是通過高等數學中的微積分來推導現有一個圓x^2+y^2=r^2在xoy座標軸中讓該圓繞x軸轉一週就得到了一個球體球體體積的微元為dv=π[√(r^2-x^2)]^2dx∫dv=∫π[√(r^2-x^2)]^2dx積分割槽間為[-r,r]求得結果為4/3πr^3
球的體積公式怎麼推匯出來的，要詳細的過程
15樓：匿名使用者
如果您學了微積分，那麼可以積分求球的體積公式。
16樓：
把表面分成來許多近
自似方格，每個方格面積ds，連線方格點與球心，得到高等於r的稜錐體，每個的微體積dv=（1/3）ds.r
全部加起來：
v=（1/3）rs，
其中s是球的表面積，s=4πr²，代入：
v=（1/3）r.4πr²=（4/3）πr³
球的體積公式V43r怎麼推導
首先,球的體積公式是4 3 r3,這個是應用三重積分推導的,應用球座標系,球體體積公式為v 4 3 r,這個公式怎麼推匯出來的?拜託各位大神 祖亙原bai理,冪勢 既同du,則積不容異zhi 就是說橫截面積相dao同 冪勢 回 高度相同 體積相同,答就是用圓錐放入同底等高的圓柱,空餘體積那個畸形冪勢...
球的體積3分之4r怎麼推導得出的
將一個底面半徑r高為r的圓柱中心挖去一個等底等高的圓椎.剩下的部分與一個半球用平面去割時處處面積相等.等出它們體積相等的結論.而那個被挖體的體積好求.就是半球體積了.v 2 3 r 3 因此一個整球的體積為4 3 r 3 球是圓旋轉形成的.圓的面積是s r 2,則球是它的積分,可求相應的球的體積公式...
球的表面積和體積的關係,求球的表面積和體積公式。
r 0 4 r dr 4 3 r 簡單點說就是f r 4 3 r 的導數就是4 r 那兩個符號其實是一個只是為了區分0和r的位置 手打賊累望採納 球的體積就是球的表面積對dr的積分 體積 半徑 表面積 3 求球的表面積和體積公式。老師帶你學習球的體積和表面積公式 球的表面積計算公式 球的表面積 4 ...