1樓：小小芝麻大大夢
證明：（i）
若x0是ax=0的解，即：ax0=0，
顯然：atax0＝at(ax0)＝0，
即x0是atax=0的解；
反之，設x0是atax=0的解，即atax0=0，則：
x0tatax0＝0；
即(ax0)tax0＝0；
從而：|ax0|2＝(ax0，ax0)＝(ax0)tax0＝0；
於是：ax0=0，即x0是ax=0的解；
故：atax=0與ax=0是同解方程組。
（ii）
由（i）知atax=0與ax=0是同解方程組，因而兩者的解空間維數相同，
又解空間的維數=未知數的個數-係數矩陣的秩從而：r（ata）=r（a）。
2樓：帥帥的飛哥哥
這個證明與其他幾個證明不同，其他證明都有點問題，都只會複製貼上，下面加粗的表示是矩陣或者列向量
證明：(1)
若x0是ax=0的解，即：ax0=0，
顯然：atax0＝at(ax0)＝0，
即x0是atax=0的解；
反之，設x0是atax=0的解，即atax0=0，則：
x0tatax0＝0(注意，這裡的0是數字，不是向量)，
即(ax0)tax0＝0，（ax0又不是方陣，不能計算行列式|ax0|，其他證明主要是這裡有問題）
應該設ax=[a1,a2,a3....]t（列向量）
(ax0)t(ax0)=a1^2+a2^2+a3^2+....=0，所以a1=a2=a3=ai=0。
所以ax0=0，x0為ax=0的解
故：atax=0與ax=0是同解方程組。
（2）由（1）知：atax=0與ax=0是同解方程組，因而兩者的解空間維數相同，
又 解空間的維數=未知數的個數-係數矩陣的秩
從而：r（ata）=r（a）
考研數學，線性代數，為什麼ax=0,和atax=0是同解方程組？
3樓：匿名使用者
ax=0,和atax=0是同解方程組析如下：
當ax=0時，a^tax=0，所以ax=0的解是a^tax=0的解。當a^tax=0時，等式兩邊同時乘以x^t，得x^ta^tax=0，也就是（ax）^tax=0。而（ax）^tax=||ax||，稱為ax的範數，它的取值大於等於0，當且僅當ax=0時，||ax||=0。
所以a^tax=0時，ax=0，即a^tax=0的解是ax=0的解。
4樓：墨汁諾
當ax=0時，a^tax=0，所以ax=0的解是a^tax=0的解。當a^tax=0時，等式兩邊同時乘以x^t，得x^ta^tax=0，也就是（ax）^tax=0。
而（ax）^tax=||ax||，稱為ax的範數，它的取值大於等於0，當且僅當ax=0時，||ax||=0。所以a^tax=0時，ax=0，即a^tax=0的解是ax=0的解。
重要定理每一個線性空間都有一個基。
對一個 n 行 n 列的非零矩陣 a，如果存在一個矩陣 b 使 ab = ba =e（e是單位矩陣），則 a 為非奇異矩陣（或稱可逆矩陣），b為a的逆陣。
矩陣非奇異（可逆）當且僅當它的行列式不為零。
矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。
矩陣半正定當且僅當它的每個特徵值大於或等於零。
5樓：
n元方程組只表示a有n個列向量(未知x的個數)，並不反應列向量的維數(就是方程的個數)。比如有m個方程n個未知數，(m＞n)，當係數陣的秩等於n時，增廣矩陣的可以大於n，這個時候就是無解的情況。希望你能看明白，不枉我打了這麼大會的字。
設實矩陣A是可逆矩陣,證明ATA是正定矩陣
設實矩陣 抄a是正定矩陣,襲證明 對於任意正整數 ak也是正定矩陣,a的特徵值是 則a k的特徵值是 k 這個是常用結論 a是正定矩陣 則a所有特徵值 0 k 0 所以a k的特徵值也全都大於0 所以a k是正定矩陣 證 首先 a ta t a t a t t a ta 故a ta 是對稱矩陣.又對...
設A為n階實矩陣,證明 若對於任意n維實列向量a,有a TA
矩陣a aij 由於對復任意的制n維實列向量a成立，所以要在a上面做文章 令a 0,1,0 a中第i個元素是1，其餘的是0 代入可知aii 0 令a 1,1,a中第i個和第j個元素是1，其餘的是0 i j 代入可得 aii aji aij ajj 0 aii ajj 0，故aij aji 0 所以 ...
設A是n階矩陣，A為A的伴隨矩陣證明AA
利用矩陣運算與行列式的性質證明，需要分為a可逆與不可逆兩種情況。具體回答如圖 伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數中的一個基本概念,是許多數學分支研究的重要工具，伴隨矩陣的一些新的性質被不斷髮現與研究。如圖可以利用矩陣運算與行列式的性質證明，需要分為a可逆與不可逆兩種情況。設n階矩陣a的伴隨矩陣為a 證明 ...