1樓：夢之飛翔
雙曲正切是一個類似正切的函式，有共同的性質，它的表示式為thx=（e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)啊
2樓：匿名使用者
雙曲正切是以e為底的指數函式y=e^x和y=e^-x所產生的雙曲函式
它使過原點的且關於原點對稱的奇函式，定義域是（—，+）單調增加
3樓：
雙曲函式（hyperbolic function）可藉助指數函式定義
雙曲正弦
sh z ＝（ez－e－z）/2 （1）
雙曲餘弦
ch z ＝（ez＋e－z）/2 （2）
雙曲正切
th z ＝ sh z /ch z ＝（ez－e－z）/（ez＋e－z） （3）
雙曲餘切
cth z ＝ ch z/sh z＝（ez＋e－z）/（ez－e－z） （4）
雙曲正割
sech z ＝1/ch z （5）
雙曲餘割
csch z ＝1/sh z （6）其中，指數函式（exponential function）可由無窮級數定義
ez＝1＋z/1！＋z2/2！＋z3/3！＋z4/4！＋…＋zn/n！＋… （7）
雙曲函式的反函式（inverse hyperbolic function）分別記為ar sh z、ar ch z、ar th z等。
雙曲函式並非單純是數學家頭腦中的抽象，在物理學眾多領域可找到豐富的實際應用例項。
1、阻尼落體
在空氣中由靜止開始下落的小石塊既受重力的作用又受到阻力的作用。設小石塊的質量為m，速度為v，重力加速度為g，所受空氣阻力假定與v2正比，阻尼係數為μ。設初始時刻小石塊靜止。
求其小石塊運動速度與時間的關係。
解： 小石塊遵循的運動方程為
mdv/dt=mg―μv2 （8）
這是riccati方程，它可以精確求解。
依標準變換方式，設
v=（m/μ）（z′/z） （9）
代入（8）式，再作化簡，有
z'' ―(gμ /m)z=0 （10）
（10）式的通解是
z=c1exp（√gμ /m t）+ c2exp（－√gμ /m t） （11）
其中，c1和c2是任意常數。
由於小石塊在初始時刻是靜止的，初始條件為
v（0）=0 （12）
這等價於
z′（0）=0 （13）
因此，容易定出
c2=－c1 （14）
將（14）式代入（11）式，再將（11）式代入（9）式，就可得
滿足初始條件的解
v=√mg/μ tanh(√μg/m t ) （15）
圖1：阻尼落體時速度和時間的關係
我們可以作一下定性的分析。小石塊初始時刻靜止。因此，隨著時間增加，開始時小石塊速度較小，小石塊所受的阻力影響較小，此時，小石塊與不受阻力的自由落體運動情況相類似，小石塊加速度幾乎是常數。
反映在圖1中，起始段t和v的關係是直線。當小石塊速度很大時，重力相對於阻力來說可以忽略，阻力快速增加到很大的數值，導致小石塊的速度幾乎不再增加。此時，小石塊加速度接近零，v幾乎不隨時間而變化。
從圖1中可以看到，一段時間後，v相不多是一平行於t軸的直線。
2、導線電容
真空中兩條圓柱形無窮長平行直導線，橫截面的半徑分別為r1和r2,中心線相距為d(d >r1+r2)。試求它們間單位長度的電容。
解： 設這兩條導線都帶電，單位長度的電荷量分別是為λ和―λ。
我們可以用電像法精確求解。電像法的思路是：
由於在靜電平衡情況時，導線是等勢體，因而我們可設想用偶極線來取代這兩條圓柱形帶電導線，適當地選擇偶極線的位置，使它們所產生的兩個等勢面恰好與原來兩導線的表面重合。這樣就滿足了邊界條件。這裡採用的偶極線是兩條無窮長的均勻帶電平行直線，它們單位長度的電荷量也分別為λ和―λ。
這偶極線便是原來兩帶電導線的電像。於是就可以計算電勢，從而求出電容來。為此先求偶極線的等勢面。
以偶極線所在的平面為z-x平面，取笛卡兒座標系，使偶極線對稱地處在z軸的兩側，它們到z軸的距離都是a。如圖2所示。這偶極線所產生的電勢便為
φ=φ1+φ2
=（λ/2πε0）in（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）in（r2′ / r2）
=（λ/2πε0）in[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （16）
y pr2 r1
r2 ―λ +λ r1 x
o a a
a2 a1
圖2：帶電導線與其映象
式中r1′和r2′分別是偶極線λ和―λ到某個電勢參考點的距離。為方便起見，我們取z軸上的電勢為零，這樣，r1′=r2′= a，於是，（16）式便化為
φ=（λ/2πε0）in（r2 / r1） （17）
由於對稱性，平行於z軸的任何一條直線都是偶極線的等勢線。所以，我們只須考慮z-y平面內任意一點p（z，y）的電勢即可。於是
φ=（λ/4πε0）in （18）
故偶極線的等勢面方程便為
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （19）
式中 k2 =e4πε0φ/λ （20）
令 c=[（k2+1）/（ k2―1）]a （21）
則（19）式可化為
（x―c）2+y2=[4k2/（ k2―1）2]a 2 （22）
這表明，偶極線的等勢面都是軸線平行於z軸的圓柱面，它們的軸線都在z軸上z=c處，其橫截面的半徑為
r=∣2k/（ k2―1） ∣a （23）
這個結果啟示，我們可以找到偶極線的兩個等勢面，使它們分別與原來兩導線的表面重合。這隻要下列等式成立就可以了：
a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（ k12―1）]a （24）
r1=∣2k1/（ k12―1） ∣a （25）
a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（ k22―1）]a （26）
r2=∣2k2/（ k22―1） ∣a （27）
d=a1+a2 （28）
由（24）至（27）式得
a12―r12=a2= a22―r22 （29）
原來兩導線表面的方程是
r1：（x―a1）2+y2= r12 （30）
r2：（x+a2）2+y2= r22 （31）
利用（29）式，可以把（30）和（31）式分別化為
x2+y2+ a2= 2a1 x （32）
x2+y2+ a2= ―2a2 x （33）
利用（32）和（33）兩式，由（18）式得出，半徑為r1和r2的兩導線的電勢分別為
φ1=（λ/4πε0）in[（a1+a）/ （a1―a）] （34）
φ2=―（λ/4πε0）in[（a2+a）/ （a2―a）] （35）
於是兩導線的電勢差便為
u=φ1+φ2=（λ/2πε0）in[（a1+a）（a2―a）/ r1r2] （36）
用已知的量消去未知數，可以得出
u=（λ/2πε0）in[（d2―r12―r2）/ 2r1r2+√[（d2―r12―r2）/ 2r1r2]2―1] （37）
最後得出原來兩導線為l一段的電容為
c=q/u=2πε0l/ in[（d2―r12―r22）/ 2r1r2+√[（d2―r12―r22）/ 2r1r2]2―1] （38）
單位長度的電容為
c=2πε0/ in[（d2―r12―r22）/ 2r1r2+√[（d2―r12―r22）/ 2r1r2]2―1] （39）
利用反兩曲餘弦關係式
archx= in[（x+√x2―1）] （40）
對本題的精確解表示作簡潔表示
c=2πε0/ arch[（d2―r12―r22）/ 2r1r2] （41）
最後一式可以在一般手冊上查到。
3、粒子運動軌跡
一電荷量為q、靜質量為m0的粒子從原點出發，在一均勻電場e中運動，e=eez沿z軸方向，粒子的初速度沿y軸方向，試證明此粒子的軌跡為
x=（w0/qe）[cosh（qey/p0c）―1] （42）
式中p0是粒子出發時動量的值，w0是它出發時的能量。
解： 帶有電荷量q的粒子在電磁場e和b中的相對論性的運動方程為
dp/dt=q（e+v×b） （43）
式中v是粒子的速度，p是粒子的動量
p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44）
本題運動方程的分量表示式為
dpx=qe
dpy=0
dpz=0 （45）
解之，有
px =qet+c1
py = c2
pz = c3 （46）
代入t=0時初始條件
px（0）=0
py（0）= p0
pz（0）= 0 （47）
定出積分常數後，可知
px=qet
py= p0
pz= 0 （48）
粒子的能量為
w=mc2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4
=√q2e2 c2t2+w02 （49）
因dx/dt=qet/m=qec2t/√q2e2 c2t2+w02 （50）
積分得x=∫[qec2t/√q2e2 c2t2+w02 ]dt
= [√q2e2 c2t2+w02 －w02]/qe （51）
又由（48）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2e2 c2t2+w02 （52）
積分得y=∫[p0c2 /√q2e2 c2t2+w02 ]dt
=（p0c /qe）arsh（qect/w0） （53）
或 （qect/w0）= sinh （qey/ p0c） （54）
在（51）式和（54）式中消去t，有
x=（w0/qe）[√1+ sinh2（qey/ p0c）－1 ] （55）
利用恆等變換公式
cosh2x―sinh2x=1 （56）
（55）式可以寫成
x=（w0/qe）[cosh2（qey/ p0c）－1 ] （57）
（57）式是一種懸鏈線。
圖3：勻強電場中粒子的懸鏈線運動軌跡
討論：因雙曲餘弦泰勒級數式是
cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58）
當v/c →0時，保留前2項，得
x=（qe/2m v02）y2 （59）
（59）式是拋物線軌跡。《普通物理學》教材用經典牛頓力學求解，普遍會給有這個結果。這表示，非相對論確是相對論在v/c →0時的極限。
或者說，（59）式成立的條件是v/c＜＜1，這也是牛頓力學的適用範圍。
4、非線性方程求解
如著名的kdv（korteweg-de vries）方程的形式為
ux+uux+βu***=0 （60）
它是非線性的頻散方程，其中β是頻散係數。用雙曲函式法求其某些特殊精確解。
解： 考慮其行波解
u（x，t）=φ（ξ） （61）
其中，ξ=kx－ωt+ξ0 （62）
kdv方程成為
－ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63）
記 f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64）
嘗試 φ=a0+a1f+a2g （65）
注意存在關係式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66）
將（65）式代入（63）式，並在（66）式的幫助下使所得方程中各項只含有f和g的冪次項，且g的冪次項不大於1。合併f和g的同次冪項並取其係數為零，就得到方程（63）對應的非線性代數方程組
－6βk3b1（r2－1）2=0,
－6βk3a1（r2－1）=0,
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0,
－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0,
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0,
ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0,
－b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67）
用計算機代數系統maple對此超定方程組進行運算，可求得k≠0，ω≠0時的一個非平凡精確解
φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68）
其中，k、ω、ξ0為任意常數 。
（68）式是孤波解，圖4繪出了其函式影象形狀（作圖時取了β=1/6 k2，ω=βk3）。
圖4： kdv方程的孤波解
從以上的討論中可知，無論是在經典或近代的物理學內容中，還是在正在發展中的物理學內容中，雙曲函式起著不可或缺的重要作用。
參 考 文 獻
2、呂克璞、石玉仁等，《物理學報》，50（2001）2074。
參考資料：1、林旋英、張之翔，《電動力學題解》，科學出版社，2023年第一版；
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