拉格朗日插值L1xLnx為插值基函式,求SU

2021-03-03 20:37:52 字數 4548 閱讀 5315

1樓:山東的女孩兒

第一問可以考慮對x在n+1個不同的節點上的拉格朗日插值;

第二問sum(j=0 to n)(j*lk(j))這個裡面的lk(j))是不是lk(xj)),如果是的話,考慮基函式的性質lk(xj))=delta jk

拉格朗日插值公式的幾個問題

2樓:匿名使用者

一.線性插值(一次插值)

已知函式f(x)在區間[xk ,xk+1 ]的端點上的函式值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個一次函式y=p1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過該已知兩點。

1. 插值函式和插值基函式

由直線的點斜式公式可知:

把此式按照 yk 和yk+1 寫成兩項:

記並稱它們為一次插值基函式。該基函式的特點如下表:

從而p1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)

此形式稱之為拉格朗日型插值多項式。其中, 插值基函式與yk 、yk+1 無關,而由插值結點xk 、xk+1 所決定。一次插值多項式是插值基函式的線性組合, 相應的組合係數是該點的函式值yk 、yk+1 .

例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多項式求lg12的近似值。

解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 設

x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010

則插值基函式為:

於是, 拉格朗日型一次插值多項式為:

故 :即lg12 由lg10 和lg20 兩個值的線性插值得到,且具有兩位有效數字(精確值lg12=1.0792).

二.二次插值多項式

已知函式y=f(x)在點xk-1 ,xk ,xk+1 上的函式值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一個次數不超過二次的多項式p2 (x), 使其滿足,

p2 (xk-1 )=yk-1 , p2 (xk )=yk , p2 (xk+1 )=yk+1 .

其幾何意義為:已知平面上的三個點

(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),

求一個二次拋物線, 使得該拋物線經過這三點。

1.插值基本多項式

有三個插值結點xk-1 ,xk ,xk+1 構造三個插值基本多項式,要求滿足:

(1) 基本多項式為二次多項式; (2) 它們的函式值滿足下表:

因為lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已經是一個二次多項式, 僅相差一個常數倍, 可設

lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),

又因為lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1

得 從而

同理得基本二次多項式見右上圖(點選按鈕「顯示li」)。

2. 拉格朗日型二次插值多項式

由前述, 拉格朗日型二次插值多項式:

p2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),p2 (x)

是三個二次插值多項式的線性組合,因而其是次數不超過二次的多項式,且滿足:

p2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。

例2 已知:

xi 10 15 20

yi=lgxi 1 1.1761 1.3010

利用此三值的二次插值多項式求lg12的近似值。

解:設x0 =10,x1 =15,x2 =20,則:

故:所以

7利用三個點進行拋物插值得到lg12的值,與精確值lg12=1.0792相比,具有3位有效數字,精度提高了。

三、拉格朗日型n次插值多項式

已知函式y=f(x)在n+1個不同的點x0 ,x1 ,…,x2 上的函式值分別為

y0 ,y1 ,…,yn ,求一個次數不超過n的多項式pn (x),使其滿足:

pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),

即n+1個不同的點可以唯一決定一個n次多項式。

1. 插值基函式

過n+1個不同的點分別決定n+1個n次插值基函式

l0 (x),l1 (x),…,ln (x)

每個插值基本多項式li (x)滿足:

(1) li (x)是n次多項式;

(2) li (xi )=1,而在其它n個li (xk )=0 ,(k≠i)。

由於li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:

(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

因其已經是n次多項式,故而僅相差一個常數因子。令:

li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

由li (xi )=1,可以定出a, 進而得到:

2. n次拉格朗日型插值多項式pn (x)

pn (x)是n+1個n次插值基本多項式l0 (x),l1 (x),…,ln (x)的線性組合,相應的組合係數是y0 ,y1 ,…,yn 。即:

pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,

從而pn (x)是一個次數不超過n的多項式,且滿足

pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).

例3 求過點(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多項式。

解 用4次插值多項式對5個點插值。

所以四、拉格朗日插值多項式的截斷誤差

我們在[a,b]上用多項式pn (x) 來近似代替函式f(x), 其截斷誤差記作

rn (x)=f(x)-pn (x)

當x在插值結點xi 上時rn (xi )=f(xi )-p n(xi )=0,下面來估計截斷誤差:

定理1:設函式y=f(x)的n階導數y(n) =f(n) (x)在[a,b]上連續,

y(n+1) = f(n+1) (x)

在(a,b)上存在;插值結點為:

a≤x0

pn (x)是n次拉格朗日插值多項式;則對任意x∈[a,b]有:

其中ξ∈(a,b), ξ依賴於x:ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )

證明:由插值多項式的要求:

rn(xi )=f(xi )-pn (xi )=0,(i=0,1,2,…,n);

設rn (x)=k(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=k(x)ωn+1 (x)

其中k(x)是待定係數;固定x∈[a,b]且x≠xk ,k=0,1,2,…,n;作函式

h(t)=f(t)-pn (t)-k(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

則 h(xk )=0,(k=0,1,2,…,n), 且h(x)=f(x)-pn (x)-rn(x)=0, 所以,

h(t)在[a,b]上有n+2個零點,反覆使用羅爾中值定理:存在ξ∈(a,b),

使; 因pn (x)是n次多項式,故p(n+1) (ξ)=0, 而

ωn+1 (t)=(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

是首項係數為1的n+1次多項式,故有

於是h(n+1) (ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!k(x)

得:所以

設 , 則:

易知,線性插值的截斷誤差為:

二次插值的截斷誤差為:

下面來分析前面兩個例子(例1,例2)中計算lg12的截斷誤差:

在例1中,用lg10和lg20計算lg12,

p1(12)=1.0602,lg12=1.0792

e=|1.0792-1.0602|=0.0190;

估計誤差:f(x)=lgx,

,當x∈[10,20]時,

在例2中,用lg10,lg15和lg20計算lg12.

p2(12)=1.0766,

e = |1.0792-1.0766|=0.0026

估計誤差:

怎麼證明拉格朗日插值基函式線性無關

3樓:

用lagrange插值公式對常數函式f(x)=1進行插值即可。

lagrange插值基函式之和為一的證明過程

4樓:匿名使用者

你要清楚的一點就是lagrange插值基函式只與插值節點有關,明白了這一點問題就解決了,因為σyili(x)=l(x),我們令y=1,則σli(x)=l(x),由余項定理可知餘項為零,則σli(x)=l(x)=y=1,更一般地我們可以證明σxi^k*li(x)=x^k(0=

如何證明拉格朗日插值基函式是基? 20

5樓:威杏

要清楚點lagrange插值基函式與插值節點關,明白點問題解決,σyili(x)=l(x),我令y=1,則σli(x)=l(x),由余項定理知餘項零,則σli(x)=l(x)=y=1,更般我證明σxi^k*li(x)=x^k

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