1樓：匿名使用者
找個老師輔導一下咯。
數學建模問題
2樓：榕迷
超市員工安排及運營問題
摘要在一些大型服務機構中，不同的時間段內需要的服務量有著顯著的不同，從而主管單位在不同的時段僱傭工作人員的人數往往也不同。因此對於既要滿足需要，又要儘量減少勞務開支是管理者必須思考的決策問題。
本文我院某校內超市員工安排問題為例，據已給定的各個時間段所需的服務員人數和兩個班次與休息時間安排表、職員工資及其他給定的限制，建立整數規劃優化模型，得出最優安排，使得既滿足超市對職工的需要，又使超市的勞務開支最少。另外本文進一步討論在已有班次的基礎上，對增加更多的班次後的人員安排及勞務支出的變化，以便此超市根據最少的勞務開支做出最優選擇。由問題給出的時間和班次安排表，在8：
00——17：00和12：00——21：
00中每隔一個小時安排吃飯時間，根據班次安排的人數列出線性不等式，根據月支出來列出目標函式，然後設計線性規劃模型，用lingo.8解出人數和最優勞務支出。由此解決了本問題要討論的最少人數和最優勞務支出。
一 問題重述
在一些大型服務機構中，不同的時間段內需要的服務量有顯著的不同。例如，交通管理人員、醫院醫護人員、賓館服務人員、超市賣場營銷人員等。在不同的時段勞務需求量不同，主管單位在不同時段僱傭的臨時職工數量往往也不同。
因此對於既要滿足需要，又要儘量節約勞務開支是管理者必須思考的決策問題。現就我院校內某超市臨時員工的班次安排問題建立一個數學模型來進行優化設計，使其既滿足超市的營業需要，又能夠使超市的勞務開支最少。
超市的營業時間為11：00到22：oo，根據學生的購買情況，以一小時為一時段，各時段內所需的服務人員數如表1。
此超市員工由臨時工和正式員工構成，正式職工兩名，主要負責管理工作，每天需要工作8小時，臨時工若干名，每天工作4小時。已知一名正式員工11：00開始上班，工作4小時後休息1小時，而後再工作4小時；另一名正式職工13：
00開始上班，工作4小時後休息1小時，而後再工作4小時,工作、休息時間安排如表2。又知臨時工每小時工資為4元。
序號 時間區最少需求人數
1 11：00－12：00 9
2 12：00－13：00 9
3 13：00－14：009
414：00－15：003
5 15：00－16：00 3
6 16：00－17: 00 3
7 17: 00－18: 00 6
8 18: 00－19: 00 12
9 19: 00－20: 00 12
10 20: 00－21: 00 7
11 21: 00－22: 00 7
表2班次 工作時間 休息時間
1 11：00－20：00 12：00－13：00
213：00－22：00 17：00－18：00
二．符號說明
符號說明如下：
min表示公司勞務開支的最少值；
xi表示在第i時段該超市使用的臨時工人數，i=1，2，…,11；
三．問題假設
（1）以一小時為一時段，假設一小時內的任意時刻所需人數都要大於等於這一時段的最少需求人數。
（2）工作人員的工資每小時與他所在工作時段無關，與他的表現好壞等無關。
（3）假設正式員工在工作時段裡不會中途退出。
（4）每個臨時員工可在任一時段開始時上班，但要求必須連續工作4小時。
四.問題分析
1．1問題1分析
該問題中超市安排了二個班次來分配正式員工，目標是在滿足超市需求的前提下使超市僱用臨時工的成本最小（也就是勞務開支最少）。進一步討論對11點至20點和13點至22點分別安排更多班次其勞務支出的變化，既僱用臨時工數量與班次的安排。
1．2模型建立
因每人每小時的工資已給定，結合表三故可得目標函式為：
min 16*( y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+ y9+y10+y11)
在11：00—12：00時間段內，只有y1個人在工作，得：
y1>=8
在12：00—13：00時間段內，有y1+y2個人在工作，得：
y1+y2>=8
在13：00—14：00時間段內，有y1+y2+y3個人在工作，得：
y1+y2+y3>=7
在14：00—15：00時間段內，有y1+y2+y3+y4個人在工作，得：
y1+y2+y3+y4>=1
在15：00—16：00時間段內，y1個人已下班，有y2+y3+y4+y5個人在工作，得：
y2+y3+y4+y5>=2
在16：00—17：00時間段內，y1+y2個人已下班，有y3+y4+y5+y6個人在工作，得：
y3+y4+y5+y6>=1
在17：00—18：00時間段內，y1+y2+y3個人已下班，有y4+y5+y6+y7個人在工作，得：
y4+y5+y6+y7>=5
在18：00—19：00時間段內，y1+y2+y3+y4個人已下班，有y5+y6+y7+y8個人在工作，得：
y5+y6+y7+y8>=10
在19：00—20：00時間段內，y1+y2+y3+y4+y5個人已下班，得：
y6+y7+y8+y9>=10
在20：00—21：00時間段內，y1+y2+y3+y4+y5+y6個人已下班，得：
y7+y8+y9+y10>=6
在21：00—22：00時間段內，y1+y2+y3+y4+y5 +y6 +y7個人已下班，得：
y8+y9+10y+y11>=6
由以上分析可構成一個整數線性規劃模型，即：
目標函式為：
min 16*( y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+ y9+y10+y11)
整數現性方程的約束條件為：
y1>=8
y1+y2>=8
y1+y2+y3>=7
y1+y2+y3+y4>=1
y2+y3+y4+y5>=2
y3+y4+y5+y6>=1
y4+y5+y6+y7>=5
y5+y6+y7+y8>=10
y6+y7+y8+y9>=10
y7+y8+y9+y10>=6
y8+y9+10y+y11>=6
y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10，y11均為整數且均大於零。
1.3 模型求解
將上述的整數線性規劃模型輸入lingo 8.0，：
model:
min=16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
y1>=8;
y1+y2>=8;
y1+y2+y3>=7;
y1+y2+y3+y4>=1;
y2+y3+y4+y5>=2;
y3+y4+y5+y6>=1;
y7+y6+y4+y5>=5;
y5+y6+y7+y8>=10;
y9+y6+y7+y8>=10;
y10+y9+y8+y7>=6;
y11+y10+y9+y8>=6;
@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7);@gin(y8);@gin(y9);@gin(y10);@gin(y11);
end求解可以得到最優解如下
global optimal solution found at iteration: 7
objective value: 320.0000
variable value reduced cost
x1 8.000000 16.00000
x2 0.000000 16.00000
x3 0.000000 16.00000
x4 0.000000 16.00000
x5 2.000000 16.00000
x6 4.000000 16.00000
x7 0.000000 16.00000
x8 6.000000 16.00000
x9 0.000000 16.00000
x10 0.000000 16.00000
x11 0.000000 16.00000
row slack or surplus dual price
1 320.0000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 1.000000 0.000000
5 7.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 5.000000 0.000000
8 1.000000 0.000000
9 2.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
臨時工班次安排如下表
由此可知，原題目中當第1班次上班的臨時工作人員人數為8，第5班次上班的臨時工作人員人數為2，第6班次上班的臨時工作人員人數為4，第8班次上班的臨時工作人員人數為6，第2、3、4、7、9、10、11班次不安排臨時工上班時，我們可以得出此超市的開支最少，最少值為320元。
二．符號說明
xi表示在第i時段該超市使用連續工作3小時的臨時工人數，i=1，2，…,11；
yi表示在第i時段該超市使用連續工作4小時的臨時工人數，i=1，2，…,11；
min表示超市勞務開支的最少值；
2.1 問題2分析
現 臨時工每班工作可以為3小時，也可以為4小時，：
2．2模型建立
因每人每小時的工資已給定，結合表三故可得目標函式為：
min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
在11：00—12：00時間段內，只有y1+x1工作，得：
y1+x1>=8;
在12：00—13：00時間段內，有y1+y2+ x1+x2個人在工作，得：
y1+y2+x1+x2>=8;
在13：00—14：00時間段內，有y1+y2+y3+ x1+x2+x3個人在工作，得：
y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;
在14：00—15：00時間段內，有y1+y2+y3+y4+ x2+x3+x4個人在工作，得：
y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;
在15：00—16：00時間段內，y1個人已下班，有y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5個人在工作，得：
y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;
在16：00—17：00時間段內，有y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4個人在工作，得：
y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;
在17：00—18：00時間段內，有y4+y5+y6+y7+x7+x6+x5個人在工作，得：
y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;
在18：00—19：00時間段內，有y5+y6+y7+y8+x7+x6+x8個人在工作，得：
y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;
在19：00—20：00時間段內，仍有y9+ y8+y7+ y6+x7+ x9+x8個人在工作，得：
y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;
在20：00—21：00時間段內，仍有y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8個人在工作，得：
y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;
在21：00—22：00時間段內，
得：y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;
由以上分析可構成一個整數線性規劃模型，即：
目標函式為：
min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
整數現性方程的約束條件為：
y1+x1>=8;
y1+y2+x1+x2>=8;
y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;
y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;
y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;
y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;
y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;
y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;
y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;
y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;
y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10,y11均為整數且均大於零。,
2.3 模型求解
將下面的模型輸入lingo 8.0，：
medol:
min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
y1+x1>=8;
y1+y2+x1+x2>=8;
y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;
y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;
y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;
y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;
y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;
y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;
y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;
y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;
y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);@gin(x9);@gin(x10);@gin(x11);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7);@gin(y8);@gin(y9);@gin(y10);@gin(y11);
end求解可以得到最優解如下
global optimal solution found at iteration: 11
objective value: 264.0000
variable value reduced cost
x1 8.000000 12.00000
x2 0.000000 12.00000
x3 1.000000 12.00000
x4 0.000000 12.00000
x5 1.000000 12.00000
x6 0.000000 12.00000
x7 4.000000 12.00000
x8 0.000000 12.00000
x9 0.000000 12.00000
x10 0.000000 12.00000
x11 0.000000 12.00000
y1 0.000000 16.00000
y2 0.000000 16.00000
y3 0.000000 16.00000
y4 0.000000 16.00000
y5 0.000000 16.00000
y6 0.000000 16.00000
y7 0.000000 16.00000
y8 6.000000 16.00000
y9 0.000000 16.00000
y10 0.000000 16.00000
y11 0.000000 16.00000
row slack or surplus dual price
1 264.0000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 2.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
我們可以得出此超市的勞務開支最少，最少值為 264元。
六 參考文獻
本模型中整數線性優劃模型來自，姜啟源、謝金星、葉俊. 數學模型[m]. 北京:高等教育出版社，2003.8.
本模型中目標函式[2]來自，
附錄（程式）
model:
min=1200*(x1+x2)+1500*(x3+x4);
x1+x2>=30;
x1+x2>=35;
x1+x3+x4>=20;
x2+x3+x4>=20;
x1+x2+x3+x4>=40;
x1+x2+x4>=30;
x3>=30;
x3+x4>=25;
x3+x4>=20@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);end
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