1樓：不露00不露
2023年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康託發現了很相似的悖論。2023年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。
羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於2023年給出的，它涉及到某村理髮師的困境。理髮師宣佈了這樣一條原則：
他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質："理髮師是否自己給自己刮臉？
"如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。
承認無窮集合，承認無窮基數，這是第三次數學危機的實質。
2樓：匿名使用者
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3樓：匿名使用者
我完全掌握了微積分，但是對於一般函式的可微可積性還不能掌握。《實變函式論》似乎深入研究了一般函式的可微可積性，甚至於狄利克雷這樣的函式都是可積的。
第二次數學危機基本結束了，而第三次數學危機卻還遠沒有解決。請問第三次數學危機的核心問題是不是在《實變函式論》以及《數理邏輯》中作研究？我想深入瞭解第三次數學危機的核心問題，請問該看哪個數學分支的書？
簡述三次數學危機的內容及解決情況.
4樓：匿名使用者
第一次數學危機
從某種意義上來講，現代意義下的數學（也就是作為演繹系統的純粹數學）**於古希臘的畢達哥拉斯學派。這個學派興旺的時期為公元前500年左右，它是一個唯心主義流派。他們重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文學、**稱為「四藝」，在其中追求宇宙的和諧及規律性。
他們認為「萬物皆數」，認為數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界。數學的知識是由於純粹的思維而獲得，並不需要觀察、直覺及日常經驗。
畢達哥拉斯的數是指整數，他們在數學上的一項重大發現是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發現了一些直角三角形的三邊比不能用整數來表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否定了畢達哥拉斯學派的信條：
宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。
不可通約性的發現引起第一次數學危機。有人說，這種性質是希帕索斯約在公元前400年發現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經知道這種事實，而希帕索斯因洩密而被處死。
不管怎樣，這個發現對古希臘的數學觀點有極大的衝擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，於是幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。
同時這也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由「自明的」公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系，這不能不說是數學思想上一次巨大革命，這也是第一次數學危機的自然產物。
回顧以前的各種數學，無非都是「算」，也就是提供演算法。即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的。比如泰勒斯**日食，利用影子距離計算金字塔高度，測量船隻離岸距離等等，都是屬於計算技術範圍的。
至於埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，並沒有經歷過這樣的危機和革命，所以也就一直停留在「算學」階段。而希臘數學則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。
第二次數學危機
早在古代，人們就對長度、面積、體積的度量問題感興趣。古希臘的歐多克斯引入量的觀念來考慮連續變動的東西，並完全依據幾何來嚴格處理連續量。這造成數與量的長期脫離。
古希臘的數學中除了整數之外，並沒有無理數的概念，連有理數的運算也沒有，可是卻有量的比例。他們對於連續與離散的關係很有興趣，尤其是芝諾提出的四個著名的悖論：
第一個悖論是說運動不存在，理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路，而到達半路之前又必須到達半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個點，這在有限長時間之內是無法辦到的。
第二個悖論是跑得很快的阿希裡趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面時，他必須首先到達烏龜的起點，然後用第一個悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。
而第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成。第三個悖論是說「飛矢不動」，因為在某一時問間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論是遊行隊伍悖論，內容大體相似。
這說明希臘人已經看到無窮小與「很小很小」的矛盾。當然他們無法解決這些矛盾。
希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格的逼近步驟，這就是所謂「窮竭法」。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難證的定理。
到了十六、十七世紀，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經過許多人多年的努力，終於在十七世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科，這也就是數學分析的開端。
牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在於：1，把各種問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法；2，有明確的計算微分法的步驟；3．微分法和積分法互為逆運算。
由於運算的完整性和應用範圍的廣泛性，使微積分成為解決問題的重要工具。同時關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。以求速度為例，瞬時速度是δs/δt當δt趨向於零時的值。
δt是零、是很小的量，還是什麼東西，這個無窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭論，從而引發了第二次數學危機。
十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些基礎問題的討論不感興趣。如達朗貝爾就說，現在是「把房子蓋得更高些，而不是把基礎打得更加牢固」。更有許多人認為所謂的嚴密化就是煩瑣。
但也因此，微積分的基礎問題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是貝克萊主教在2023年的攻擊。
十八世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的、強調形式的計算，而不管基礎的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導數、微分、積分等概念不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發散級數求和的任意性；符號使用的不嚴格性；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及可否展成冪級數等等。
一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注於微積分的嚴格基礎。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。
波爾查諾不承認無窮小數和無窮大數的存在，而且給出了連續性的正確定義。柯西在2023年的《代數分析教程》中從定義變數開始，認識到函式不一定要有解析表示式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變數，並定義了導數和積分；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數及求和；狄裡克萊給出了函式的現代定義。
在這些數學工作的基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的ε - δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上，從而克服了危機和矛盾。
十九世紀七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析終於建立在實數理論的嚴格基礎之上了。
同時，威爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函式的例子。這個發現以及後來許多病態函式的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。由此，第二次數學危機使數學更深入地**數學分析的基礎——實數論的問題。
這不僅導致集合論的誕生，並且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實數論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀數學基礎中的首要問題。
1-6悖論的產生——第三次數學危機
數學史上的第三次危機，是由2023年的突然衝擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康託的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
2023年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康託發現了很相似的悖論。2023年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。
羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於2023年給出的，它涉及到某村理髮師的困境。理髮師宣佈了這樣一條原則：
他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質："理髮師是否自己給自己刮臉？
"如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。
羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地"。
於是終結了近12年的刻苦鑽研。
承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。
所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。
5樓：匿名使用者
第一次數學危機是無理數的誕生，發現根號2不能寫成兩個整數相除，最終無理數被納入了實數範圍
第二次數學危機源於微積分工具的使用，由於定義不嚴格，無窮小量這些概念引起爭論，最終建立了實數理論，極限理論，使得數學分析有了嚴格基礎
第三次數學危機關於集合論，即著名的羅素悖論，集合的定義收到了攻擊。最終通過不同的公理化系統解決，使數理邏輯等學科得到發展
希望對你有幫助！
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