1樓：匿名使用者
2023年太原市初中數學競賽題
一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了英文代號的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的. 請將正確結論的代號填入題後的括號裡.
不填、多填或錯填，得零分）
1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，則 的值等於 ( )
(a) (b) (c) (d)
2．在本埠投寄平信，每封信質量不超過20g時付郵費0.80元，超過20g而不超過40g時付郵費1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費0.
80元（信的質量在100g以內）.如果所寄一封信的質量為72.5g，那麼應付郵費 ( )
(a)2.4元 (b)2.8元 (c)3元 (d)3.2元
3．如下圖所示，∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g=（ ）
(a)360° (b) 450° (c) 540° (d) 720°
4．四條線段的長分別為9，5，x，1（其中x為正實數），用它們拼成兩個直角三角形，且ab與cd是其中的兩條線段（如上圖），則x可取值的個數為（ ）
(a)2個 (b)3個 (c)4個 (d) 6個
5．某校初三兩個畢業班的學生和教師共100人一起在臺階上拍畢業照留念，攝影師要將其排列成前多後少的梯形隊陣（排數≥3），且要求各行的人數必須是連續的自然數，這樣才能使後一排的人均站在前一排兩人間的空擋處，那麼，滿足上述要求的排法的方案有( )
(a)1種 (b)2種 (c)4種 (d) 0種
二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）
6．已知 ，那麼 .
7．若實數x，y，z滿足 ， ， ，則xyz的值為 .
8．觀察下列圖形：
① ② ③ ④
根據圖①、②、③的規律，圖④中三角形的個數為 .
9．如圖所示，已知電線杆ab直立於地面上，它的影子恰好照
在土坡的坡面cd和地面bc上，如果cd與地面成45º，∠a=60º，
cd=4m，bc= m，則電線杆ab的長為_______m.
10．已知二次函式 （其中a是正整數）的圖象經 過點a（－1，4）與點b（2，1），並且與x軸有兩個不同的交點，則b+c的最大值為 .
三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知ab是⊙o的直徑，bc是⊙o的切線，oc平行於弦ad，過點d作de⊥ab於點e，連結ac，與de交於點p. 問ep與pd是否相等？證明你的結論.
解： 12．某人租用一輛汽車由a城前往b城，沿途可能經過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示.
若汽車行駛的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用為1.2元. 試指出此人從a城出發到b城的最短路線（要有推理過程），並求出所需費用最少為多少元？
解： 13b．如圖所示，在△abc中，∠acb=90°.
（1）當點d在斜邊ab內部時，求證： .
（2）當點d與點a重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
（3）當點d在ba的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
14b．已知實數a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
注：13b和14b相對於下面的13a和14a是較容易的題. 13b和14b與前面的12個題組成考試卷.後面兩頁 13a和14a兩題可留作考試後的研究題.
13a．如圖所示，⊙o的直徑的長是關於x的二次方程 （k是整數）的最大整數根. p是⊙o外一點，過點p作⊙o的切線pa和割線pbc，其中a為切點，點b，c是直線pbc與⊙o的交點.若pa，pb，pc的長都是正整數，且pb的長不是合數，求 的值.
解： 14a．沿著圓周放著一些數，如果有依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式 >0，那麼就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.
（1）若圓周上依次放著數1，2，3，4，5，6，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數1，2，…，2003，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
解：（1）
（2）2023年“truly®信利杯”全國初中數學競賽試題參***與評分標準
一、選擇題（每小題6分，滿分30分）
1．d由 解得 代入即得.
2．d因為20×3<72.5<20×4，所以根據題意，可知需付郵費0.8×4=3.2（元）.
3．c如圖所示，∠b+∠bmn+∠e+∠g=360°，∠fnm+∠f+∠a+∠c=360°，
而∠bmn +∠fnm =∠d＋180°，所以
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g=540°.
4．d顯然ab是四條線段中最長的，故ab=9或ab=x.
（1）若ab=9，當cd=x時， ， ；
當cd=5時， ， ；
當cd=1時， ， .
（2）若ab=x，當cd=9時， ， ；
當cd=5時， ， ；
當cd=1時， ， .
故x可取值的個數為6個.
5．b設最後一排有k個人，共有n排，那麼從後往前各排的人數分別為k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由題意可知 ，即 .
因為k，n都是正整數，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n與2k+（n－1）的奇偶性不同. 將200分解質因數，可知n=5或n=8. 當n=5時，k=18；當n=8時，k=9.
共有兩種不同方案.
6． .
＝ .7．1.
因為 ，
所以 ，解得 .
從而 ， .
於是 .
8．161.
根據圖中①、②、③的規律，可知圖④中三角形的個數為
1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161（個）.
9． .
如圖，延長ad交地面於e，過d作df⊥ce於f.
因為∠dcf=45°，∠a=60°，cd=4m，
所以cf=df= m， ef=dftan60°= （m）.
因為 ，所以 （m）.
10.－4.
由於二次函式的圖象過點a（－1，4），點b（2，1），所以
解得 因為二次函式圖象與x軸有兩個不同的交點，所以 ，
，即 ，由於a是正整數，故 ，
所以 ≥2. 又因為b+c=－3a+2≤－4，且當a=2，b=－3，c=－1時，滿足題意，故b+c的最大值為－4.
三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知ab是⊙o的直徑，bc是⊙o的切線，oc平行於弦ad，過點d作de⊥ab於點e，連結ac，與de交於點p. 問ep與pd是否相等？證明你的結論.
解：dp=pe. 證明如下：
因為ab是⊙o的直徑，bc是切線，
所以ab⊥bc.
由rt△aep∽rt△abc，得 ① ……（6分）
又ad‖oc，所以∠dae=∠cob，於是rt△aed∽rt△obc.
故 ② ……（12分）
由①，②得 ed=2ep.
所以 dp=pe. ……（15分）
12．某人租用一輛汽車由a城前往b城，沿途可能經過的城市以及
通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛
的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用
為1.2元. 試指出此人從a城出發到b城的最短路線（要有推理過
程），並求出所需費用最少為多少元？
解：從a城出發到達b城的路線分成如下兩類：
（1）從a城出發到達b城，經過o城. 因為從a城到o
城所需最短時間為26小時，從o城到b城所需最短時間
為22小時. 所以，此類路線所需 最短時間為26+22=48（小時）. ……（5分）
（2）從a城出發到達b城，不經過o城. 這時從a城到達b城，必定經過c，d，e城或f，g，h城，所需時間至少為49小時. ……（10分）
綜上，從a城到達b城所需的最短時間為48 小時，所走的路線為：
a→f→o→e→b. ……（12分）
所需的費用最少為：
80×48×1.2=4608（元）…（14分）
答：此人從a城到b城最短路線是a→f→o→e→b，所需的費用最少為4608元…（15分）
13b．如圖所示，在△abc中，∠acb=90°.
（1）當點d在斜邊ab內部時，求證： .
（2）當點d與點a重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
（3）當點d在ba的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
解：（1）作de⊥bc，垂足為e. 由勾股定理得
所以 .
因為de‖ac，所以 .
故 . ……（10分）
（2）當點d與點a重合時，第（1）小題中的等式仍然成立。此時有ad=0，cd=ac，bd=ab.
所以 ， .
從而第（1）小題中的等式成立.……（13分）
（3）當點d在ba的延長線上時，第（1）小題中的等式不成立.
作de⊥bc，交bc的延長線於點e，則
而 ,所以 .……（15分）
〖說明〗第（3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.
14b．已知實數a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
解：（1）不妨設a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由題設知a>0，
且b+c=2-a， .
於是b，c是一元二次方程 的兩實根， ≥0，
≥0， ≥0. 所以a≥4. ……（8分）
又當a=4，b=c=-1時，滿足題意.
故a，b，c中最大者的最小值為4. ……（10分）
（2）因為abc>0，所以a，b，c為全大於0或一正二負.
1） 若a，b，c均大於0，則由（1）知，a，b，c中的最大者不小於4，這與a+b+c=2矛盾.
2）若a，b，c為或一正二負，設a>0，b<0，c<0，則
， 由（1）知a≥4，故2a-2≥6，當a=4，b=c=-1時，滿足題設條件且使得不等式等號成立。故 的最小值為6. ……（15分）
13a．如圖所示，⊙o的直徑的長是關於x的二次方程 （k是整數）的最大整數根. p是⊙o外一點，過點p作⊙o的切線pa和割線pbc，其中a為切點，點b，c是直線pbc與⊙o的交點. 若pa，pb，pc的長都是正整數，且pb的長不是合數，求 的值.
解：設方程 的兩個根為 ， ， ≤ .由根與係數的關係得
---- ①， ---- ②
由題設及①知， ， 都是整數. 從①，②消去k，得 ，
. 由上式知， ，且當k=0時， ，故最大的整數根為4.
於是⊙o的直徑為4，所以bc≤4.
因為bc=pc－pb為正整數，所以bc=1，2，3或4. ……（6分）
連結ab，ac，因為∠pab=∠pca，所以pab∽△pca，
故 ③ ……（10分）
（1）當bc=1時，由③得， ，於是 ，矛盾！
（2）當bc=2時，由③得， ，於是 ，矛盾！
（3）當bc=3時，由③得， ，於是 ，
由於pb不是合數，結合 ，故只可能
， ，解得 .
此時 .
（4）當bc=4，由③得， ，於是 ，矛盾.
綜上所述 .……（15分）
14a．沿著圓周放著一些數，如果有依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式 >0，那麼就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.
（1）若圓周上依次放著數1，2，3，4，5，6，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數1，2，…，2003，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
解：（1）答案是肯定的. 具體操作如下：
……（5分）
（2）答案是肯定的. 考慮這2003個數的相鄰兩數乘積之和為p. ……（7分）
開始時， =1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，經過k（k≥0）次操作後，這2003個數的相鄰兩數乘積之和為 ，此時若圓周上依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式 >0，即ab+cd>ac+bd，交換b，c的位置後，這2003個數的相鄰兩數乘積之和為 ，有 .
所以 ，即每一次操作，相鄰兩數乘積的和至少減少1，由於相鄰兩數乘積總大於0，故經過有限次操作後，對任意依次相連的4個數a，b，c，d，一定有 ≤0.……（15分）.
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