1樓:匿名使用者
證明:假設√10不是無理數,而是有理數。
既然√10是有理數,它必然可以寫成兩個整數回之比的形式: √10=p/q
又由於p和答q沒有公因數可以約去,所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。
把 √10=p/q 兩邊平方
得 10=(p^2)/(q^2) 即 10(q^2)=p^2
由於10q^2是偶數,p 必定為偶數,設p=2m
由 10(q^2)=4(m^2)
得5 q^2=2m^2 /這個5對它沒有影響,不會影響它是偶數/
同理q必然也為偶數,設q=2n
既然p和q都是偶數,他們必定有公因數2,這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√10是有理數引起的。因此√10是無理數。
歡迎提問
如何才能證明根號10位無理數
2樓:匿名使用者
證明:假設√10不是無理數,而是有理數。
既然√10是有理數,它必然可以寫成兩個整數之比的形式: √10=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去,所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。
把 √10=p/q 兩邊平方
得 10=(p^2)/(q^2) 即 10(q^2)=p^2由於10q^2是偶數,p 必定為偶數,設p=2m由 10(q^2)=4(m^2)
得5 q^2=2m^2 /這個5對它沒有影響,不會影響它是偶數/同理q必然也為偶數,設q=2n
如何用算術基本定理證明根號10是無理數
3樓:匿名使用者
設√10為有理數,不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2
可見n^2是10的倍
數按原理n是10的倍數
設n=10k
代入得m^2=10k^2
可見m^2是10的倍數
按原理m是10的倍數
但這與m,n互質矛盾
所以√10不是有理數
4樓:匿名使用者
先 設 根號10=p/q, p ,q互 為 質數 ,然 後 用 反 證 法 , 具 體 參 見 下 面 這 個 鏈 接 裡 的 反 證 法 :
5樓:匿名使用者
我同意這種證明方法:
設√10為有理數,不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2可見n^2是10的倍數按原理n是10的倍數
設n=10k
代入得m^2=10k^2
可見m^2是10的倍數
按原理m是10的倍數
但這與m,n互質矛盾
所以√10不是有理數
請證明:根號三是無理數
6樓:風之鷂
^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
2、設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
拓展資料:
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年,德國數學家戴德金從連續性的要求出發,用有理數的「分割」來定義無理數,並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,從而結束了無理數被認為「無理」的時代,也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
7樓:匿名使用者
^證明根號3是無理數,使用反證法
如果√3是有理數,必有√3=p/q(p、q為互質的正整數)兩邊平方:3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數,設p=3k(k為正整數)有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q於是3的倍數,與p、q互質矛盾
∴假設不成立,√3是無理數
8樓:雄鷹
分析:1有理數的概念:
「有限小數」和「無限迴圈小數」統稱為有理數。
整數和分數也統稱為有理數。
所有的分數都是有理數,分子除以分母,最終一定是迴圈的。
2無理數的概念:無限不迴圈小數,可引申為「開方開不盡的數」。
3反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立,然後正確地證明原假設是錯誤的。
解:假設(√3)是有理數,
∵ 1<3<4
∴(√1)<(√3)<(√4)
即:1<(√3)<2
∴(√3)不是整數。
∵整數和分數也統稱為有理數,而(√3)不是整數
∴在假設「(√3)是有理數」的前提下,(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。
此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)
兩邊平方,得:
m2 / n2 = 3
∴m2 是質數3的倍數
我們知道,如果兩個數的乘積是3的倍數,那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。
∴由「m2 (m與m的乘積) 是質數3的倍數」得:正整數m是3的倍數。
此時不妨設 m = 3k(k為正整數)
把「m = 3k」 代入「m2 / n2 = 3」 ,得:
(9k2) / n2 = 3
∴3k2 = n2
即:n2 / k2 = 3
對比「m2 / n2 = 3「 同理可證
正整數n也是3的倍數
∴正整數m和n均為3的倍數
這與「m、n均為正整數且互質」相矛盾。
意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論,
∴原假設「(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)」是不成立的。
∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數
而已證(√3) 不是整數
∴(√3) 既 不是整數也不是分數,即(√3) 不是有理數。
∴(√3) 是無理數。
9樓:遲沛山告琳
方法一:假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
方法二:設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。
方法三:設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
10樓:樸卉吾嘉懿
^反證:假設根號3是有理數,則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,
於是m是3的倍數,令m=3q,
代入上式整理得:n^2=3q^2,
故n也是3的倍數,這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。
證明根號10是無理數?
11樓:匿名使用者
證明: ∵ √
10=√9x10/9
=√32x10/9
=3√10/9
又10/9是化小數為無限迴圈小數為1.11......。那麼√10/9為無理內數,那
容麼3√10/9仍為無理數。
故 √10為無理數。
12樓:匿名使用者
假設√10是有理數
bai,設它能寫du
成最簡分數p/q的形式zhi,即p=q√dao10由於√9<√10<√16,√10在
回3和4之間
所以有0<√10-3<1
兩邊乘以答q,得0 注意到q√10=p是正整數,3q也是正整數,所以q√10-3q當然也是正整數,它小於q,我設為q1 再在上述不等式兩邊乘以√10,得0<10q-3q√10 注意看,p1/q1=(10q-3q√10)/(q√10-3q)=√10,即有一個新的分數p1/q1=√10,但分子分母都比原來的p和q要小,這跟假設的p/q是最簡分數矛盾 所以√10不會是有理數 如何證明√10為無理數? 13樓:匿名使用者 有理數可以寫成兩個互質整數的比值(即最簡分數) 設√10=p/q,p,q互質 有10=p2/q2,p2=10q2 ∵10是偶數,一個數乘以偶數還是偶數,∴p2是偶數,即p是偶數 設p=2k,k是正整數,那麼有10q2=(2k)2=4k2 5q2=2k2,∵2k2是偶數,∴5q2是偶數,即q是偶數 那麼pq都是偶數,有公因數2,這和pq互質相矛盾 因此√10不能寫成兩個互質整數的比值,即√10是無理數. 還有一種證法,這種證法對於證明一個非完全平方數的平方根為無理數是幾乎通用的 如果√10是有理數,那麼取最小的一個正整數m,使得m√10是一個整數 因為兩個整數差仍是整數,設n=m√10-3m=m(√10-3),n是整數 而3<√10<4,所以n 而n√10=√10*m(√10-3)=m(10-3√10)=10m-3m√10 10m是整數,3m√10是整數,所以n√10也是整數 但我們已經取了最小的正整數m使得m√10為整數了,n√10是整數的話,說明m 這與上面證明的n 所以,√10不是有理數. 要點是找出√a在哪兩個相鄰正整數k,k+1之間,假設m√a為整數之後,用m√a-km就可以得到n 14樓:苦也不太差°國 證明:假設 x =√ 6 +√10 是有理數, 則 √10 =x -√6, 所以 10 =x^2 -2√6 x +6. 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x). 又因為 x 是有理數, 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x) 是有理數. 與 √6 是無理數 矛盾. 所以 假設不成立, 即 √6 +√10 是無理數. = = = = = = = = = 以上用到一個結論: 若 n是正整數,且不是完全平方數,則 √n 是無理數。 這道題可推廣為: 若 a,b 是正有理數,且√a,√b是無理數,則√a +√b 是無理數. 但是,無理數 +無理數 不一定是 無理數。 如:√2 +(2-√2) =2, π +(3-π) =3. ... ... 是否可以解決您的問題? 如何證明根號6加根號10是無理數 15樓:匿名使用者 ^證明:假設 x =√6 +√10 是有 理數,則 √10 =x -√6, 所以 10 =x^2 -2√6 x +6. 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x). 又因為 x 是有理版數, 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x) 是有理數. 與 √6 是無權理數 矛盾. 所以 假設不成立, 即 √6 +√10 是無理數. = = = = = = = = = 以上用到一個結論: 若 n是正整數,且不是完全平方數,則 √n 是無理數。 這道題可推廣為: 若 a,b 是正有理數,且√a,√b是無理數,則√a +√b 是無理數. 但是,無理數 +無理數 不一定是 無理數。 如:√2 +(2-√2) =2, π +(3-π) =3. ... ... 分析 有理數的概念 有限小數 和 無限迴圈小數 統稱為有理數。整數和分數也統稱為有理數。所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。無理數的概念 無限不迴圈小數，可引申為 開方開不盡的數 反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。解 假設 3 是有理數，1 3... 根號2是無理數1.414.根號3也是無理數，所以根號2 根號3是無理數 反證法 若根號2加根號3是分數 即整數與整數的比 或說是有理內數容吧 則平方以後也應是有理數 即5 2根號6也是有理數 即根號6是有理數 顯然根號6只能是分數，不妨設此分數約至最簡時為b a則a,b互質，否則還可約 6 b 2 ... 若2 1 2是有理數，則必可表示為m n的形式其中m,n是整數且不全為偶。數，開方得m 2 2n 2,若n為偶數，則2n 2也是偶數，此時因為m不是偶數，所以m 2也不可能是。偶數，故此時等式m 2 2n 2不成立。同理可證明m為偶數和m,n都不是偶數時等式都不成立。於是產生矛盾，所以假設2 1 2...如何證明根號三是無理數，如何證明根號3是無理數
證明根號2根號3是無理數,如何證明根號2和根號3是無理數
如何證明根號2和根號3是無理數？