1樓：手機使用者
有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的frobenius範數(也叫euclid範數，簡稱f-範數或者e-範數)：║a║f= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (a全部元素平方和的平方根)。容易驗證f-範數是相容的，但當min>1時f-範數不能由向量範數誘導(||e11+e22||f=2>1)。
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義 ║x║=║x║，其中x=[x,x,…,x]是由x作為列的矩陣。由於向量的f-範數就是2-範數，所以f-範數和向量的2-範數相容。
另外還有以下結論： ║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f <= ║a║2 ║b║f
1、矩陣的譜半徑和範數的關係
定義：a是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2,…,n。則稱特徵值的絕對值的最大值為a的譜半徑，記為ρ(a)。
注意要將譜半徑與譜範數(2-範數)區別開來，譜範數是指a的最大奇異值，即a^h*a最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函式，但不是矩陣範數。
2、譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：
定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ(a)≤║a║。
因為任一特徵對λ,x,ax=λx，可得ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。
定理2：對於任何方陣a以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║a║<ρ(a)+e。
定理3(gelfand定理)：ρ(a)=lim_ ║a^k║^。
利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：
推論1：矩陣序列 i,a,a^2,…a^k,… 收斂於零的充要條件是ρ(a)<1。
推論2：級數 i+a+a^2+... 收斂到(i-a)^的充要條件是ρ(a)<1。
矩陣的f範數是由哪個向量範數誘導的
2樓：動感超人
行範數行元素絕對值和最大的那個列範數列元素絕對值和最大的那個f範數這個忘記了，可以看一下數值分析課本二範數矩陣所有元素平方和開根號，還有函式和向量的範數要搞明白，自己看數值分析
矩陣範數的理解和計算
3樓：電燈劍客
||這個仍然是誘導範數，只是自變數和因變數用不同的範數普通的p-範數是這樣
||a||_p = sup ||ax||_p / ||x||_p，其中x非零
而||a||_ =sup ||ax||_b / ||x||_a，其中x非零
由於你這裡涉及到一個抽象的q，想要給出||p||_的簡單閉形式是不現實的，即使是||p||_q這樣的範數也沒有已知的簡單形式
範數的矩陣範數
4樓：騷b雪的桃
一般來講矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。
如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣（或複方陣）全體上的任何一個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。
注：如果不考慮相容性，那麼矩陣範數和向量範數就沒有區別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性運算元的特徵，這一點和運算元範數的相容性一致，並且可以得到mincowski定理以外的資訊。
誘導的範數
把矩陣看作線性運算元，那麼可以由向量範數誘匯出矩陣範數
║a║ = max= max ，
它自動滿足對向量範數的相容性
║ax║ ≤ ║a║║x║，
並且可以由此證明：
║ab║ ≤ ║a║║b║。
注：⒈上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的（有限開覆蓋定理），從而上面的連續函式可以取到最值。
⒉顯然，單位矩陣的運算元範數為1。
常用的三種p-範數誘匯出的矩陣範數是
1-範數：║a║1 = max （列和範數，a每一列元素絕對值之和的最大值）
（其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其餘類似）；
2-範數：║a║2 = a的最大奇異值 = (max) 1/2 （譜範數，即a^h*a特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中ah為a的轉置共軛矩陣）；
∞-範數：║a║∞ = max （行和範數，a每一行元素絕對值之和的最大值）
（其中∑|a1j| 為第一行元素絕對值的和，其餘類似）；
其它的p-範數則沒有很簡單的表示式。
對於p-範數而言，可以證明║a║p=║ah║q，其中p和q是共軛指標。
簡單的情形可以直接驗證：║a║1=║ah║∞，║a║2=║ah║2，一般情形則需要利用║a║p=max。
非誘導範數
有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的frobenius範數（也叫euclid範數，簡稱f-範數或者e-範數）：
║a║f= （∑∑ aij2）1/2 (a全部元素平方和的平方根）。
容易驗證f-範數是相容的，但當min>1時f-範數不能由向量範數誘導（||e11+e22||f=2>1）。
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義
║x║=║x║，其中x=[x,x，…，x]是由x作為列的矩陣。
由於向量的f-範數就是2-範數，所以f-範數和向量的2-範數相容。另外還有以下結論：
║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f ≤ ║a║2 ║b║f
矩陣譜半徑
定義：a是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2，…，n。則稱特徵值的絕對值的最大值為a的譜半徑，記為ρ（a）。
注意要將譜半徑與譜範數（2-範數）區別開來，譜範數是指a的最大奇異值，即ah*a最大特徵值的算術平方根。
譜半徑是矩陣的函式，但不是矩陣範數。譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：
定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ（a）≤║a║。
因為任一特徵對λ，x,ax=λx，可得ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。
定理2：對於任何方陣a以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║a║<ρ（a)+e。
定理3(gelfand定理）：ρ（a)=lim_ ║ak║1/k。
利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：
推論1：矩陣序列 i,a,a2，…ak，… 收斂於零的充要條件是ρ（a)<1。
推論2：級數 i+a+a2+... 收斂到（i-a)-1的充要條件是ρ（a)<1。
酉不變範數
定義：如果範數║·║滿足║a║=║uav║對任何矩陣a以及酉矩陣u,v成立，那麼這個範數稱為酉不變範數。
容易驗證，2-範數和f-範數是酉不變範數。因為酉變換不改變矩陣的奇異值，所以由奇異值得到的範數是酉不變的，比如2-範數是最大奇異值，f-範數是所有奇異值組成的向量的2-範數。
反過來可以證明，所有的酉不變範數都和奇異值有密切聯絡：
定理（von neumann定理）：在酉不變範數和對稱度規函式（symmetric gauge function）之間存在一一對應關係。
也就是說任何酉不變範數事實上就是所有奇異值的一個對稱度規函式。
矩陣的2範數與向量的2範數有什麼關係
5樓：匿名使用者
矩陣範數2 與 向量範數2 在數學理論中具有邏輯一致性。看下面例子。
6樓：匿名使用者
答：這兩種範數實際上是有非常緊密的聯絡的。
一方面，矩陣的2範數是向量二範數對應的誘導範數。
另一方面，向量範數可以認為是矩陣的誘導範數的特例，如果將長度為的向量視為一個的矩陣，你會發現前者的向量範數是等於後者的矩陣範數的！
參考
矩陣範數與運算元範數有什麼區別？
7樓：匿名使用者
一、囊括範圍不同
1、矩陣範數：將一定的矩陣空間建立為賦範向量空間時為矩陣裝備的範數。
2、運算元範數：運算元範數(operate norm)是矩陣範數的一種。
二、應用形式表達不同
1、矩陣範數：應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現，這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。
2、運算元範數：運算元範數是矩陣範數的一種，設向量x是一個n維向量，a是一個n*n的矩陣，則a的運算元範數為max(ax/x)，運算元範數也稱從屬範數，其中x≠0。
8樓：電燈劍客
對於矩陣而言，矩陣範數真包含運算元範數，也就是說任何一種運算元範數一定是矩陣範數，但是某些矩陣範數不能作為運算元範數（比如frobenius範數）。
如何求矩陣的一範數 一範數和二範數有啥區別？
9樓：匿名使用者
∑|一、求法
1-範數：║a║1 = max（列和範數，a每一列元素絕對值之和的最大值），其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其餘方法相同）；
2-範數：║a║2 = a的最大奇異值 =（max）^（其中a^h為a的轉置共軛矩陣）。
二、區別：
1、意義不同：1-範數是指向量（矩陣）裡面非零元素的個數，2-範數（或euclid範數）是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。
2、求法不同：1-範數║a║1 = max，2-範數：║a║2 = a的最大奇異值 = （max）^。
10樓：ivy夏戀
1-範數：是指向量（矩陣）裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。
||x||1 = sum（abs(xi)）；
2-範數（或euclid範數）：是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 （無需只沿方格邊緣）。
||x||2 = sqrt(sum(xi.^2))；
∞－範數(或最大值範數)：顧名思義，求出向量矩陣中其中模最大的向量。
||x||∞ = max(abs(xi))；
ps.由於不能敲公式，所以就以偽**的形式表明三種範數的演算法，另外加以文字說明，希望樓主滿意。相互學習，共同進步~
11樓：匿名使用者
範數的意義是可以度量誤差對結果的影響，1範數和二範數只是兩種度量方式
12樓：匿名使用者
a=0 1
0 0
|a-λe| =
-λ 1
0 -λ
= λ^2
所以a的特徵值為: 0, 0.
矩陣2範數的問題，矩陣2範數的問題？
是從你的敘述來看，a是一個給定的可逆矩陣，範數也是給定的，那麼沒什麼好說的，既然a 存在則 a 是一個正實數，當然是有限的。如果你想問的是這樣的問題 給定正整數n和正實數m，以及n階方陣上的一個範數 記x 那麼對於y a屬於x 中的矩陣b，sup b 是否有限？那麼這個問題的結論是無界的，只需要看a...
矩陣相乘與範數之間的關係！急,矩陣相乘與範數之間的關係！急！
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矩陣範數的理解和計算,矩陣裡面的範數有什麼意義？
這個仍然是誘導範數，只是自變數和因變數用不同的範數普通的p 範數是這樣 a p sup ax p x p，其中x非零 而 a sup ax b x a，其中x非零 由於你這裡涉及到一個抽象的q，想要給出 p 的簡單閉形式是不現實的，即使是 p q這樣的範數也沒有已知的簡單形式 矩陣裡面的範數有什麼意...