1樓：風痕雲跡
抱歉，前面誤解了題目。下面是完整解答：
如果n=1(mod2), n=2m+1,
則 2^n+1=2^(2m+1)+1=2*4^m+1=2*(-1)^m+1不=0（mod5)
如果n=0(mod4), n=4m,
則 2^n+1=2^(4m)+1=4^2m+1=(-1)^2m+1=2（mod5)
如果 n=2(mod4), 即是2的倍數，但不是4的被數。
則 n=2(2m+1）
2^n+1=2^(2(2m+1))+1=4^(2m+1)+1=(-1)^(2m+1)+1=-1+1=0(mod5)
所以 當且僅當 n=2(mod4) 時，2^n + 1能被5整除
2樓：
這個問題相當於求所有的正整數n，使得2^n除以5餘4.
觀察2^1餘2
2^2餘4
2^3餘3
2^4餘1
2^5餘2
……所以2^n除以5的餘數以4為一個迴圈，所以n=2,6,10,...的時候2^n除以5餘4.
所以結論就是當n=4k+2，k=1,2,3,...時2^n+1能被5整除。
ps:關於這類問題有一個通用的結論。設p是一個素數，那麼對任意的不被p整除的整數a，有a^n除以p的餘數以p-1為一個迴圈週期。
具體到這道題，p=5,a=2，而p-1=4就是週期。這個結論叫做fermat小定理。有興趣可以看看初等數論相關的書籍~
初等數論的幾個問題
3樓：陳
（1）n是奇數，2^n=2^（2k+1）=4^k *24^k模3餘1,2* 4^k模3餘2，故3| （2^n+1）如果n是偶數，（2^n+1）=4^s +1 除3餘2（2）2^n 除5餘4即可，也就是4* 2^（n-2） 除5餘4即可也就是2^（n-2） 除5餘1即可
根據費馬小定理，得到n-2=4+5k
從而n=5s+1，s>0的整數 即可
（3）必要性顯然，充分性5卜（1^n+2^n+3^n+4^n）討論一下n除以4的餘數即可，用一用費馬小定理求出1^n，2^n，3^n，4^n除以5的餘數就是了（4）3^a是奇數，(b-c)² *c是偶數，故結果是偶數樓主你題目太多了，懸賞又那麼低，慢慢給你做
證明任意整數能整除10^n-1(n=1,2,3,4,...)
4樓：
哎...除了 1樓的回答..如果不用那個已知結論 也許會更好
那個是初等數論裡面的東西 拿到初中上講好意思麼?我學又不好 ,看了半天才明白是書上的
解釋一樓...假設有一個數字是7 ,b=7; 那麼 a為(1/7)的迴圈節 是142857;
a*b=142857*7=10^6-1; 6就是a的位數 結果很顯然成立
但是 給出理由呀 沒理由 一個公式 誰知道嘛
這裡首先證明了 不能被2或5除的是迴圈小數 ..接著
a^k ≡1 (mod n) 這個成立 只要n 和 a互質就可以 很顯然a=10 跟 任何不能被2或5整的數互質
k為1/n的迴圈節..具體要證明上面的定理成立
com/view/1171192.htm 檢視裡面的尤拉定理...這個定理其中φ(n)為指數,而恰好 這個最小的指數 正好是迴圈節的個數
其實上面都是大量的證明
1樓的回答很符合要求了...數學真難學..累
5樓：3d棋手
因為不能被2或5整除的數，去除1肯定會得到一個純迴圈小數。設這個純迴圈小數的迴圈節為a,去除1的那個數為b,則ab=10^n-1(其中n為迴圈節的位數),命題得證。
6樓：劉文兵
任何不含二和五因數的正整數n的倒數均是迴圈小數...假如每迴圈節有m個數,則有:999...
9(m個)整除n;即:10^m-1整除n.(用豎式除法試一下你會發現這個規律;)(m是n的因數;在此不作證明.
自己找幾個數驗證一下)
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