1樓：匿名使用者
誰說單調是可積的充分條件了？第一，連續
性如果放在開區間，那麼兩回個端點無法保證連續答，此時必須另外加條件端點為第一類間斷點。第二，有界放在開區間同樣不能保證端點不為無窮大或者可以取值。第三，同樣要保證端點值為第一類間斷點。
可積的問題
2樓：匿名使用者
此處，只討論 閉區間復：[a,b] 上的制（黎曼)定積分 意義下的可積條件；1)
對上述三個條件，明顯 條件1 是 條件2 的特殊情形,無需解釋；
f(x)在閉區間[a,b]上連續 ==> f(x)在[a,b]上有界，且只有有限個間斷點
2)條件3 和 條件2 則是對兩類不同的【可積函式類】的總結。
意思是 對一個單調函式而言，即使它可能有無窮多個間斷點【注意：這一情形無法被條件2概括】，此單調函式也是可積的。
舉個例子： y=f(x) x∈[0,1] :
y(0)=0
y=1/2^[1/x] x∈(0,1] 【[1/x]表示對1/x 的取整函式】
函式可積的充分條件裡，第三個：f（x）在閉區間a，b上單調 怎麼理解，萬一我有無窮多個間斷點呢
3樓：匿名使用者
有無窮個間斷點的函式也有可積的，如[0,1]上定義的黎曼函式。只要這種間斷點的個數是可數個無窮多就行，黎曼函式的間斷點是可數個無窮多，所以可積。狄裡克萊函式也定義在[0,1]上，間斷點個數也是無窮多個，但不是可數個無窮多，因此不可積。
可以證明單調函式的間斷點最多是可數個無窮多，因此只要函式單調有界一定可積。
函式可積一定存在原函式嗎？
4樓：是你找到了我
函式可積不一定存在原函式。 因為這是兩個概念，函式可積指的是函式的定積分存在，而函式存在原函式則是涉及不定積分的概念。
一個函式，可以存在不定積分，而存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
求函式f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函式，由原函式的性質可知，只要求出函式f(x)的一個原函式，再加上任意的常數c就得到函式f(x)的不定積分。
5樓：匿名使用者
可積是隻定積分，而定積分可積的必要條件是函式有界；可積的充分條件有：連續；或有界且只有有限個間斷點；或單調。同時注意到f（x）在x=0處是間斷的，只不過.
是第二類間斷點；存在第一類間斷點的函式是不存在原函式的。
積分的主要任務就是找到原函式。不過有的可積函式是找不到原函式的！可積但原函式不一定存在,原函式存在不一定可積，二者沒有必然關係。
若函式f(x)在區間[a,b]上連續，則函式f(x)一定可積且原函式存在；若函式f(x)在區間[a,b]上存在有限個間斷點，則函式f(x)一定可積，而原函式的存在性需要通過判斷間斷點的連續性來得出原函式是否存在。
擴充套件資料
原函式的定義：如果在區間i上，f』(x)=f(x)那麼稱f(x)是f(x)在區間i上的原函式（或反導數）。如果一個函式存在原函式，那麼它有無窮多個原函式，而且其中的任何兩個原函式之間只相差一個常數。
不定積分的定義：函式f(x)在區間i上所有原函式的一般表示式稱為f(x)在i上的不定積分，記作
對於原函式的存在性有如下兩個重要結論：
1、如果在區間i上函式f(x)連續，則函式f(x)在區間i上存在有原函式。
2、如果在區間i上函式f(x)有第一類間斷點和第二類無窮間斷點，則函式在該區間i上沒有原函式，如果函式在區間i上僅僅具有第二類振盪間斷點，則有可能存在有原函式。
6樓：demon陌
函式可積不一定存在原函式。按條件的強度來說，可積是個較弱的條件，因為可積的充分條件是「在閉區間上有界且只有有限個間斷點。」 可積的必要條件就是函式有界。
函式可積，只能知道他的變限積分所構造的函式連續。連續是比可積稍強的條件，也就是說，閉區間連續一定可積，且必有原函式，而且該函式的原函式一定可導。
可導是比連續更強的條件，也就是說可導——》連續——》可積。
可微是很強的條件，比可導還強，一元函式二者等價，多元函式可微比可導強。
偏導數連續（我認為）是最強的條件，可以推出上述的一切條件。一個函式如果可導，那麼它的導函式是不可能存在第一類間斷點的，所以說一個函式如果存在第一類間斷點，那麼它是不會有原函式的。
7樓：匿名使用者
個人理解：按條件的強度來說，可積是個較弱的條件，因為可積的充分條件是「在閉區間上有界且只有有限個間斷點。」 可積的必要條件就是函式有界。
函式可積，只能知道他的變限積分所構造的函式連續。連續是比可積稍強的條件，也就是說，閉區間連續一定可積，且必有原函式，而且該函式的原函式一定可導。可導是比連續更強的條件，也就是說可導——》連續——》可積。
可微是很強的條件，比可導還強，一元函式二者等價，多元函式可微比可導強。偏導數連續（我認為）是最強的條件，可以推出上述的一切條件。你可以按我說的畫個推導圖，好好找找這些個概念的章節再好好理解一下。
你的最後一問，其實你反過來想，一個函式如果可導，那麼它的導函式是不可能存在第一類間斷點的，所以說一個函式如果存在第一類間斷點，那麼它是不會有原函式的。
8樓：匿名使用者
這兩個問題的答案都是否定的，應該都是不一定。試想把可去間斷點的函式值補上，那麼原函式可以確定是不存在的。否則不一定。希望能幫到你。
9樓：匿名使用者
問題一：否，若f(x)存在原函式f(x),那麼f'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳躍間斷點，必然，f(c 0)≠f(c-0),這就導致f'(c 0)≠f'(c-0)，故f'(c)不存在，與f'(c)=f(c)矛盾。可去間斷點f'(c 0)=f'(c-0)，但是顯然他們都不等於f'(c)[例如f'(c 0)=f(c 0)≠f(c)],事實上，函式存在第一類間斷點，必然沒有原函式。
問題二：是。有限個間斷點不影響可積性，若存在原函式f『(x)=f(x),根據函式的性質，可導函式必連續，可知f(x)連續。
10樓：匿名使用者
不一定是啥意思？能不能說詳細點，我已經迷惑了，你回答這麼簡單，我更迷惑了。
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充分條件 如果抄a成立，能推出b成立，但 反過來不一定成立。例如所有的偶數都是整數，但不是偶數也可能是整數的。必要條件 如果a不成立，則b一定不成立，但反過來不一定也不成立。例如不是整數就一定不是偶數，但是整數也可能不是偶數。一般數學教科書裡面遇到的表述是這樣的 a成立 的回充分必要條件是 b成立 ...
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