1樓:匿名使用者
由於 lim ((1+n)/(1+n2))/(1/n)= lim(n2+n)/(1+n2)=1
所以此級數和1/n有相同斂散性
1/n發散,所以此級數發散
2樓:超過2字
1/n<(1+n)/(1+n^2)
=> ∑1/n < ∑(1+n)/(1+n^2)比較判別法
前者發散,所以後者發散
1/n為什麼是發散的?1/(n*n)為什麼是收斂的?
3樓:關鍵他是我孫子
1/n發散的原因:
0<∑1/n2<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n,所以收斂。
至於∑1/n.考慮函式ln(1+x) - x,其導數為1/(1+x) -1。
當x恆大於0時,導數恆小於0,當x=0時,ln(1+x)-x =0,
當x>0時,ln(1+x) - x <0 ,所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。
1/n > ln(n+1)-ln(n),所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很顯然不收斂。
1/(n*n)收斂的原因:
可以用1/x*x的積分放大估計,也可以用按2的k次方集項估計:
第一項等於1,第二第三項之和小於1/2(小於兩個1/2的平方,第4項到第7項之和小於1/4(四個1/4平方之和),第8項到第15項之和小於1/8(八個1/8平方之和.)
總之,小於收斂的公比為1/2的等比級數,所以收斂。
4樓:匿名使用者
這題目用積分,導數審斂法可以方便做出,而且已有他人給出答案。我就在這裡分析為何不能使用比值審斂法判斷斂散性。
用比值審斂法判斷,
1/n的後項比前項為1-1/(n+1);
1/n^2的為1-2/(n+1)+1/(n+1)^2;
當n趨於無窮時,上列兩個式子均趨於1,按道理應該都是發散的是吧?
比值本身是項與項之間的倍率關係,而與項本身的大小無關。舉個栗子:
級數1第n項是0.0001(n足夠大),第n+1項是0.0001000001,第n+2項是0.0001000001000000001,以此類推後項比前項趨於1,但它是收斂的;
級數2第n項是1000(n足夠大),第n+1項是1000.1,第n+2項是1000.1001,以此類推後項比前項趨於1,但它是發散的;
綜上,比值審斂法適用條件(未考慮複數域):
1.若比值是個常數a,a>=1時發散,a<1時收斂。(不考慮負數情況)
2.若是一個關於n的式子b,則n趨於無窮時,b趨於小於1的數時收斂,b趨於1時無法判斷,b趨於大於1的數時發散。
5樓:demon陌
因為n≠0,n*n>0,所以當n的絕對值從小變大時,1/(n*n)收斂於0,雙曲線在同一側,
一、二象限。
而n為(-∞,0)時,1/n為(0,-∞);當n為(0,+∞)時,1/n為(+∞,0),雙曲線在
一、三象限。
收斂級數對映到它的和的函式是線性的,從而根據哈恩-巴拿赫定理可以推出,這個函式能擴張成可和任意部分和有界的級數的可和法,這個事實一般並不怎麼有用,因為這樣的擴張許多都是互不相容的,並且也由於這種運算元的存在性證明訴諸於選擇公理或它的等價形式,例如佐恩引理,所以它們還都是非構造的。
發散級數這一分支,作為分析學的領域,本質上關心的是明確而且自然的技巧,例如阿貝爾可和法、切薩羅可和法、波萊爾可和法以及相關物件。維納陶伯型定理的出現標誌著這一分支步入了新的階段,它引出了傅立葉分析中巴拿赫代數與可和法間出乎意料的聯絡。
6樓:一顆心的距離麗
p級數 1 1/(2∧p ) 1/(3∧p) ...... 1/(n∧p)當n≦1時發散,當n>1時收斂.
可以用反證法來證 . 假設它收斂,它的部分和sn趨於s,那麼,它的部分和s2n也趨s,
所以s2n-sn=0當n趨於無窮時。但s2n-snn+1+1/n+2+...+1/2n>n*1/2n=1/2,因此s2n-sn不趨向於零當n趨於無窮時,這與假設矛盾,所以原級數發散。
基本解釋發散 fāsàn1. ∶光線等 由一點向四周散開發散透鏡2. diverge∶中醫指用發汗的藥物把體內的熱散出去發散 fāsàn散開如由一個共同中心向外延伸的幾條直線,數學上的發散狀態
**勘探中常用的震源可近似地看作為點震源,它在介質中形成的**波具有各種形狀的波前。當波離開震源傳插時,波前面不斷擴大,導致單位波前面積上波的能量不斷減小,這種現象叫做發散。
根據波前的形狀,通常可分為球面發散和柱面發散。前者,波強度的變化與距離的平方成反比;後者,波強度的變化與距離成反比。
條件收斂,指的是技術給定,其他條件一樣的話,人均產出低的國家,相對於人均產出高的國家,有著較高的人均產出增長率,一個國家的經濟在遠離均衡狀態時,比接近均衡狀態時,增長速度快。
無窮級數 1/n 為何是發散的? 無窮級數1/(n^2)和(1/n^3)又為何是收斂的?最好用影象作邏輯判斷
7樓:摯愛小喜兒
調和級數的證明比較抽象:
如果假設∑1/n收斂,記部份和為sn,且設lim(n→∞)sn=s
於是有lim(n→∞)s(2n)=s,有lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0
但是s(2n)-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,與lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0矛盾
所以調和級數∑1/n是發散的
又討論p-級數∑1/(n^p)的斂散性。
(1)當p≤1時,因為n^p≤n,而調和級數∑1/n是發散的,根據比較審斂法知當01時,對於任意實數x,當n-1≤x1≤n,有1/n^p≤1/x^p
1/n^p=∫1/n^p dx((n-1)~n)
≤∫1/x^p dx((n-1)~n)
=1/(p-1)[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)] (n=2,3,4....)
考慮級數∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)],其部份和sn=1-1/n^(p-1)
又有lim(n→∞)sn=1,所以∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)]收斂,根據比較審斂法,當p>1時,∑1/(n^p)收斂
8樓:孫小子
第一個級數 稱為調
和級數 利用微分中值定理 可以證明1/n>ln(1+1/n) (構造y=lnx x在(n,n+1))
級數1的部分和》ln(n+1)
第二個級數 無窮級數1/(n^2)《級數1/n(n+1) 後面的級數 分項 易證收斂
第三個級數 級數 (1/n^3)《無窮級數1/(n^2) 利用正項級數的比較收斂準則 易證收斂
勸你看看課本 同濟大學出版社的高數6 比較好 網購的話 很便宜 推薦買了看一下
9樓:匿名使用者
這個問題是∑1/(n^p)是否收斂的問題
p級數的斂散性:
當p>1時,p級數收斂;
10樓:幻魂
是p級數收斂問題,高數書上有結論,用等比公式算一下也行,很簡單
1 2 3n 1n 2 n 1 2 條）。是怎樣得到的
實際上這就是高斯公式 你可以這樣理解 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n 1 1 2 3 n 1 1 2 3 n 1 n 1 n n 1 1 n 2 n 2 n 2 上下相加,共有n 1個 n 1 n 2 然後就有1 2 3 n 1 n 2 n 1 2 1 2 3 n 1 s n 1 n 3 2...
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